26、线性偏微分方程基础理论解读

线性偏微分方程基础理论解读

1. 适定性

1.1 热方程

考虑一个被热导体占据的区域 $\Omega \subset R^3$，设 $u = u(x, t)$ 为在位置 $x = (x_1, x_2, x_3) \in \Omega$ 和时间 $t > 0$ 时的温度。其中，$c$ 表示比热比，$\rho$ 表示密度，$\omega$ 是 $\Omega$ 的一个具有光滑边界 $\partial \omega$ 的子区域。

• 热平衡关系：
  • 进入 $\omega$ 的热量可表示为 $\int_{\omega} c\rho u(x, t)dx$。
  • 通过 $\partial \omega$ 辐射进 $\omega$ 的热量为 $\int_{\partial \omega} \kappa \frac{\partial u}{\partial \nu}(x, t)dS$，这里 $\kappa$ 是热导率，$\nu$ 是外单位法向量，$dS$ 是 $\partial \omega$ 的面积元素。
  • 根据热平衡原理，有 $\frac{d}{dt} \int_{\omega} c\rho u(x, t)dx = \int_{\partial \omega} \kappa \frac{\partial u}{\partial \nu}(x, t)dS$。
  • 当 $u(x, t)$ 光滑时，利用高斯散度定理，可推导出热方程 $\frac{\partial}{\partial t}(c\rho u) = \nabla \cdot (\kappa \nabla u)$，其