29、热传导问题求解与偏微分方程入门

热传导问题求解与偏微分方程入门

1. 热传导问题求解

1.1 计算机芯片散热鳍片与温度关系

在研究计算机芯片散热问题时，散热鳍片的长度对芯片温度有显著影响。通过相关参数计算可知，芯片温度 (U) 存在一个理论最低值 (U_{min} = 8.1^{\circ}C)。从温度与鳍片长度的关系图中可以看出，当鳍片长度远小于无穷大时，温度就接近 (8.1^{\circ}C)。例如，鳍片长度超过 10cm 后，继续增加长度对降低温度的效果不明显；但将长度从 2cm 增加到 4cm 时，能大幅降低温度。

在解决这类热传导问题时，我们需要掌握以下技能：
- 求出齐次散热鳍片方程的通解。
- 将边界条件应用到通解中，包括各种边界条件的组合，如一个或两个边界处于指定温度。
- 解读计算机芯片温度的解，以找到理论最低温度。

1.2 热传导相关练习

以下是一些热传导相关的练习题，涵盖了边界值问题的求解、边界条件的制定、热通量的计算等方面。

1.2.1 求解边界值问题

考虑微分方程 (\frac{d^2U}{dx^2} = 1)，并满足不同的边界条件：
- 条件一 ：(U(0) = 1)，(U(2) = 0)
1. 求通解：对微分方程积分两次可得通解 (U(x) = \frac{1}{2}x^2 + C_1x + C_2)。
2. 应用边界条件：将 (U(0) = 1) 代入通解，可得 (C_2 = 1)；再将 (U(2) = 0) 代入，可得 (2 + 2C_1 + 1 = 0)，解得 (C_1 = -\frac{