40、单物品拍卖的策略与收益分析

单物品拍卖的策略与收益分析

1. 拍卖策略基础

在双人拍卖场景中，如果玩家 2 出价为其估值的一半，那么玩家 1 的最优策略也是出价为其估值的一半。由于游戏具有对称性和均衡性，玩家 2 的最优出价计算方式与之类似。不过，这一结论适用范围较窄，仅考虑了两个竞拍者，且估值是从实数特定区间内均匀随机抽取的情况。但由此我们可以发现，第一价格拍卖并非激励相容，因此它与第二价格拍卖并不等价。

更普遍地，有如下定理：在有 n 个风险中性竞拍者的第一价格密封拍卖中，若竞拍者的估值独立地从实数同一有界区间的均匀分布中抽取，那么唯一的对称均衡策略组合为((\frac{n - 1}{n}v_1, \cdots, \frac{n - 1}{n}v_n))。也就是说，当每个玩家出价为其估值的(\frac{n - 1}{n})时，拍卖达到均衡。该定理的证明与之前的命题类似，但计算更复杂，因为要考虑多个对手可能出高价的情况。而且，原证明仅说明了如何验证均衡策略，却未说明如何识别均衡策略。虽然可以从基本原理出发来确定（至少对于第一价格这种简单拍卖），但后续会介绍更简单的方法。

2. 收益等价定理

在众多（实际上是无限多）的拍卖方式中，拍卖者该如何选择呢？在一定程度上，选择哪种拍卖方式影响不大，这一结论由以下重要定理给出：

定理内容

假设 n 个风险中性的竞拍者对拍卖的单一物品都有独立的私人估值，这些估值从共同的累积分布(F(v))中抽取，该分布在([v, \overline{v}])上严格递增且无原子。那么，任何有效（这里的有效指拍卖具有对称且递增的均衡，并且总是将物品分配给出价最高的竞拍者）的拍卖机制中，估值为(v)的竞拍者期望效用为零，这些机制会产生相同的