21、经典场论基础：从经典力学到场论的过渡

经典场论基础：从经典力学到场论的过渡

1. 经典作用量、运动方程与对称性

1.1 经典作用量原理

经典物理中，标准模型的预测能力与我们限制作用量项数的能力有关。最小作用量原理在理论物理中十分重要，通过寻找作用量的极值可以得到明确描述系统时间演化的运动方程。同时，作用量在连续对称变换下的不变性，能让我们根据诺特定理确定守恒量，这些守恒量不随时间变化，并且运动方程和守恒量密切相关。

在具有 $N$ 个坐标 $q_j$（$j = 1, \cdots, N$）的经典力学中，作用量 $S$ 定义为：
[
S = \int_{t_i}^{t_f} dt L(q_j, \dot{q} j)
]
这里假设作用量 $S$ 没有显式的时间依赖。对作用量进行变分：
[
\delta S = \int {t_i}^{t_f} dt \left( \frac{\partial L}{\partial q_j} \delta q_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \delta \dot{q}_j \right)
]
将被积函数改写后，若假设在 $t_i$ 和 $t_f$ 时刻 $\delta q_j = 0$ 且要求 $\delta S = 0$，可得到 $N$ 个欧拉 - 拉格朗日方程：
[
\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = 0
]

1.2 对称性与诺特定理 </