4、量子场论中的多种场与对称性研究

量子场论中的多种场与对称性研究

1. 正交矩阵群与有趣理论

首先，我们需要证明正交的 N×N 矩阵构成一个群，并列举其无穷小生成元，证明它们在对易运算下封闭。相关解答可参考附录 A。通过添加 $\phi_j\phi_j$ 的幂次，可以得到具有 $O(N)$ 对称性的有趣理论。例如，拉格朗日量：
[L_{O(N)} = \frac{1}{2}\partial^\mu\phi_j\partial_\mu\phi_j - V(\phi_j\phi_j)]
它具有一些有趣的性质，后续会进一步讨论。

2. 狄拉克场

狄拉克场满足狄拉克方程：
[\left(i\gamma^\mu\partial_\mu - m\right)\psi = 0]
其中，$\psi$ 通常被称为“狄拉克旋量”，$\gamma^\mu$ 是依赖于维度的矩阵，满足反对易关系：
[{\gamma^\mu, \gamma^\nu} = 2g^{\mu\nu}\mathbb{1}]
由于两个梯度 $\partial^\mu\partial^\nu$ 对易，我们可以交换“哑指标”的名称，得到：
[\frac{1}{2}{\gamma^\mu, \gamma^\nu}\partial_\mu\partial_\nu = \square]
算符 $\gamma^\mu\partial_\mu$ 记为 $\not\partial$，在某种意义上它是达朗贝尔算符的“平方根”。对于任意的洛伦兹变换 $\Lambda^\mu_{\ \nu}$，可以构造矩阵 $\Lambda^{1/2}$，使得：
[\gamma^\mu\Lambda^{1/2}