IAN27的博客

矩阵的PLUP’分解矩阵的PLU分解可以适用于所有的矩阵吗？举例 矩阵A此时，为了继续执行高斯消元，需要交换矩阵的两列 ==>在之前介绍的初等变换 只能 交换矩阵的两行。例如 ，左乘矩阵 ==> 。那如果想要交换矩阵的两列，需要右乘以置换矩阵。 ==>综上，之前的例子中的问题就可以通过 再添加一个 置换矩阵 P’ 右乘 即可解决 ==>A = P * L * U * P’其中左乘的P是置换矩阵，负责执行 交换行操作。L,U同样还是上三角矩阵与下三角矩阵。右乘

矩阵的LU分解 ==>A = 单位下三角矩阵 * 上三角矩阵将矩阵的LU分解用于非方阵 ==>在另一个情况下 ，如果A是6x4的矩阵==>处理方法一致。举例 ==>将U化为 单位上三角矩阵 ==>引入对角矩阵 D ==>综上 A = L * D * U举例 A 执行高斯消元法 ==>L 矩阵 ==>由于，第二行没有主元，交换两行 ==>交换过后 ==> L矩阵需要引入新的矩阵 ==>综上 A ==

在 线性系统函数类 LinearSystem.py 中添加 计算矩阵的逆功能def inv(A): if A.row_num() != A.col_num(): return None n = A.row_num() ls = LinearSystem(A, Matrix.identity(n)) if not ls.gauss_jordan_elimination(): return None invA = [[row[i]

矩阵的分解数的分解 ==> 66 = 2 * 3 * 11 ==> 质因数分解一个矩阵 也可以分解成为 几个矩阵乘积的形式。矩阵分解有不同的目的。矩阵的LU分解矩阵的LU分解，提高计算效率为目的。将一个矩阵A 分解为 A = L * UL ==> Lower Triangle MatrixU ==> Upper Triangle Matrix以矩阵的对角线为界。单位 下三角矩阵 ==>回忆高斯消元法的过程 >高斯消元法的过程，通过初等变换，

为什么矩阵的逆这么重要？对于线性系统 可以抽象为 ==> Ax = b那如果A是可逆的话，在等式两边同时乘以 A逆==> 即 ==>如果在A不变，b会变换的条件下，就可以大大加快计算速度。举例 之前的经济系统==>在这个例子中，系数矩阵A是不变的，但是b会调整，调整一个b，看看对应的x的值是多少，在这种情况下，求出系数矩阵A的逆就可以大大加快。矩阵的逆相应的应用，除了在线性系统的计算上有意义之外，在揭示线性代数内部的很多数学原理也是很有意义的。矩阵的逆和很多重要

初等矩阵和可逆性初等矩阵：对单位矩阵 进行 一次 初等变换 得到。初等矩阵一定是可逆的。==> 因为初等变换是可逆的，所以初等矩阵是可逆的。对于一般矩阵，如果可逆的话，怎样得到逆矩阵呢？根据之前的分析 ==> 如果矩阵A可逆的话，即存在一系列的初等矩阵E，满足 ==>==> 在等式左右两端 乘以 A的逆==> 乘法结合律即矩阵A的逆 等于 对单位矩阵 进行 第一个初等变换，第二个初等变换 …这个过程 等同于 ==>与使用线性系统的视角的求逆方法

初等矩阵之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时，采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==>回忆：矩阵可以表示变换上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ？==> 即：找到一个矩阵E 满足 E * A = A’举例 之前学习的单位矩阵 ==>其实这个单位矩阵也可以看作是一个变换矩阵，只不过所作的变换是 没有变换 而已。把 单位矩阵中的 元素 做出改变 >找到一个变换矩阵 ：让矩阵的一行 加（减）另一行即满足>对应的变

求解矩阵的逆使用线性系统 求解 矩阵的逆什么是矩阵的逆 ==>矩阵中 AB=BA=Ｉ ，则称B是A的逆矩阵，记作 B = A的负一次方只有方阵才有逆矩阵假设矩阵A有逆矩阵，如何求解？举例 假设A有逆矩阵，所以 ==>所以 I 有两行，且为方针，所以A的逆矩阵为２ｘ２矩阵 ==>综上，根据已知条件 联立方程组 ==>==> ==>综上，求矩阵的逆，本质上可以归类于求解线性方程组。左边是两个未知数两个方程组，右边也是，那其实也可以不用联立

齐次线性方程组什么是齐次线性方程组？==> 每一个方程等号右边的数都为 0举例 三元齐次线性方程组 ==>执行高斯-约旦消元法 ==>对于齐次线性方程组来说 是一定有解的。因为，对于齐次线性方程组来说，方程等式都为0，那至少有一个解 ⇒ 0==> 所以是有唯一解 0 ，还是无数解？根据之前的总结判断 ==> 系数矩阵非零行个数 与 未知数个数==> 2 < 3 ==> 无数解对于齐次线性方程组来说，最后一列肯定永远为零 ==>

在playLA中创建新的函数包文件LinearSystem.py实现高斯-约旦消元法==>from .Matrix import Matrixfrom .Vector import Vectorclass LinearSystem: def __init__(self, A, b): assert A.row_num() == len(b), "row number of A must be equal to the length of b"

线性方程组的结构如何处理一些没有解或是有无数解的线性方程组？举例 三元一次方程组高斯-约旦消元法 ==>在将第三行与第二行相加消元后 ==>第三行全为0，无法找到一组xyz来满足这个线性方程组，此时这个线性方程组是无解的！举例2 三元一次方程组高斯-约旦消元法 ==>在将第三行与第二行相加消元后 ==>在此时，第三行的方程组全为0，这个方程是成立的，存在xyz满足相乘后为0，即xyz任意取值都能成立。在这种情况下，高斯消元的过程已经结束了。所以反向

线性系统什么是线性系统？==> 方程组==> 未知数只能是一次方项非线性方程 ==>绘制函数图像 ==>解析几何 ==>多未知数 绘制三维图形 ==>消元法实例 二元一次线性方程组 ==>实例 三元一次线性方程组 ==>第二个方程 - 第一个方程的 3倍 ； 第三个方程 - 第一个方程的 两倍==>解决二元线性系统 ==>得到z 带入 z ==>消元法 ==>让一个方程的左右两边同时乘

创建新的py文件实现矩阵的变换 ==> main_matrix_transformation.py引入 python中的绘制包 matplotlib ==> import matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.pyplot as pltfrom playLA.Matrix import Matrixfrom playLA.Vector import Vectorimport mathif __name__ == '__main__'

看待矩阵的关键视角：用矩阵表示空间回忆：矩阵和向量相乘 ==> 线性系统 ==> 联立方程组 ==> 用矩阵和向量的方式表示方程组 ==> 行视角列视角 ==>例如 二阶的单位矩阵==>回忆：标准单位向量 ==> 指向坐标轴正方向的向量==>==>==>这么看来，矩阵就可以表示一个空间。==>通过两个列视角向量表示出了两个向量e1,e2 ==> 那这个矩阵其实就定义了两个坐标轴 ==> 从而就表示了

矩阵的逆的性质对于矩阵A，如果存在逆矩阵B,则B唯一？证明唯一性 ==> 反证法==> 假设矩阵A存在两个不同的逆矩阵B和CAB = AC = IB(AB) = B(AC)结合律 ==> （BA）B = （BA）C==> B = C所以假设错误。==> 对于矩阵A，如果存在逆矩阵B,则B唯一。（A的逆矩阵）的逆矩阵 还等于 A ==> （X的逆矩阵） = A！！证明 XA = I , AX = I==>(A . B)的

单位矩阵与任意一个列向量相乘没有产生变换的矩阵是单位矩阵，记作I。==> In 为一个k * j的单位矩阵，矩阵中每一项元素用 i kj 表示。且矩阵中只有1和0两种数，当 k=j 时 为1 ，当k 不等于 j时，全为0。==> 即在单位矩阵中，主对角线都为1。==> 单位矩阵一定是方阵。单位矩阵的性质I . A = A通过矩阵乘法定义 ==>也满足 A . I = A同理 ==>矩阵的逆在数字系统中： X . （X）的负一次方 = 1，0是没

矩阵在图形变换中的应用让每个点的横坐标扩大a倍，纵坐标扩大b倍让每个点关于x轴翻转。需要找到一个矩阵T ==> T . (x , y) = (x , -y)由(x , y)得，T需要为两列，由(x , -y)得，T需要为两行。==>==> 因为 ax + by = xcx + dy = -y==> ==>得到了一个变换矩阵，这个矩阵可以让图像中的每一个点都进行关于x轴翻转。让每个点关于y轴翻转。需要找到一个矩阵T ==> T

矩阵乘法的性质矩阵的乘法不遵守交换律 ！矩阵乘法遵守结合律、分配律对于任意r行c列的矩阵A，存在c行x列的矩阵O，满足：A . Ocx = Orx对于任意r行c列的矩阵A，存在x行r列的矩阵O，满足：Oxr . A = Oxc证明思路：(A . B）. C = A . (B . C)假设A，B，C是任意矩阵。证明左右两边相等。矩阵的幂只有方阵才可以进行矩阵的幂运算！矩阵相加的平方 不适用于 数字相加开平方！矩阵的转置在日常使用中，常使用每一行看作一个样本，每一列为一个维度。这

创建 矩阵类文件 Matrix.py创建 需要使用到的 矩阵函数功能from.Vector import Vectorclass Matrix: def __init__(self,list2d): self._values = [row[:]for row in list2d] def row_vector(self,index): '返回矩阵的第index个行向量' return Vector(self._values[index

看待矩阵的另一个视角：系统把矩阵看作一个系统。例如在简化经济系统中，对IT，电子，矿产，房产的投资额度进行估算。 Xit , Xe , Xm , Xh让这些投入额满足某些需求。例如在对 IT 行业进行投入 ==> Xit = 100 + 0.2Xe + 0.1Xm + 0.5Xh ==> 在第二年IT行业至少需要投入100亿元，以及IT行业对电子，矿产，房产行业进行支撑的一个发展，即 0.2Xe 0.1Xm 0.5Xh同理 Xe = 50 + 0.5Xit + 0.2Xm + 0

什么是矩阵 Matrix向量是对数的拓展，一个向量表示一组数。矩阵是对向量的拓展，一个矩阵表示一组向量。以行来看矩阵， 以列看矩阵行数与列数相等的矩阵 称为 方阵使用大写字母代表矩阵，用矩阵名称相对应的小写字母，并通过下标来代表每个元素。a ij 元素，在矩阵中的第i行，第j列。和计算机中的二维数组的表示是一样的。例如，日常生活中的数据表格就是一个矩阵。矩阵的基本运算矩阵的加法A+B = ?矩阵每一个元素进行相加。举例：成绩表矩阵的数量乘法k x A = ?用k去乘以

在函数功能库中添加功能 ==> Vector.py def norm(self): '返回向量的模' return math.sqrt(sum(e**2 for e in self)) def dot(self,another): '向量点乘，返回结果标量' assert len(self) == len(another), \ 'Error in dot product. Length of v

在PyCharm中实现自己的线性代数包。创建 Python Package ==> PlayLA创建 向量类，函数库 ==> Vector.pyfrom ._global import EPSILONimport mathclass Vector: def __init__(self,lst): self._values =list(lst) @classmethod def zero(cls,dim): '返回一个dim维的零向量

向量点乘的意义与应用u . v在数学意义上 = u1 x v1 + u2 x v2 + … + un x vn在几何意义上 = ||u|| x ||v|| x cosθcosθ 就可以推出等于 u x v / ||u|| x ||v||如果 θ=90° ==> u x v = 0如果 u x v = 0 ==> 两个向量垂直如果 u x v > 0 ==> 两个向量的夹角为锐角， 0<cosθ<90，夹角为锐角如果 u x v < 0 ==>

向量的点乘u . v = ?两个向量将对应的分量相乘之后，将所有相乘的结果求和。两个向量相乘后，结果是一个数/标量。严格的说法：两个向量的点乘/内积。当定义了两个向量的点乘后，发现 u . v = ||u|| x ||v|| x cosθ在二维空间中证明这个结论：余弦定理n维空间同理。向量点乘的直观理解和实现将v向量做一个到u向量上的垂线，即将v向量投影到u向量上。这时，v向量投影到u向量上的投影为 ||v|| x cosθ，而u和v向量的点乘为 ||u|| x ||v|| x

向量的长度和单位向量向量的长度（模）u=(3,4) 该向量的大小是多少？||u|| = 5二范数、欧拉距离在二维空间中，可以直接根据勾股定理计算出。u=OP=(2,3,5) 该向量的大小是多少？n维向量 求模 同理。单位向量在向量上记^为单位向量。长度为1，只表示方向。根据向量求出该向量的单位向量，这一过程称为：归一化，规范化。单位向量有无数个。但在二维空间中有两个特殊的单位向量 ——标准单位向量 e1=(1,0) e2=(0,1) 分别指向x,y轴正方向三维空间中，有

向量运算的基本性质向量加法也遵循交换律、结合律。数量乘法也遵循分配律、结合律。这些并不是定义得来的，而是通过严谨的数学证明得来。例如零向量不定义什么是零向量，我们从推导出一个性质出发。举例：证明确实存在一个向量 O意味着在每一个维度上都需要相等 u1 + O2 = u1 …注意这个零向量 O 没有箭头。坐标原点，各个维度都为0，都指向自己。对于任意一个向量 u，都存在一个向量 -u,满足：u + -u = u上述 -u 是唯一的。反证法，证明-u 是唯一的。反证

***标量***是和向量相对应的一个数字***代数***是用符号代表的数为了和标量相区别，向量的符号画箭头。在个别情况下，尤其是几何学中，我们会考虑向量的起始点。行向量与列向量对于通常的教材、论文来说，只要提到向量，都值列向量。由于横板印刷原因，使用符号，上角标T来表示转制操作从而变成列向量。例如 等同于向量的基本运算向量加法（5，2）+（2，5）T = ?从原点出发，走到（5，2）向量，再以（5，2）为原点走到对应的（2，5）向量即（7，7）。那这两个向量相加，就等于从开始的原点

什么是向量？为什么引入向量？向量是一组数的基本表示方法向量是线性代数研究的基本元素研究这样的一组数有什么用？最基本的出发点：表示方向由一个起始点到终点，这段线长5KM,起始点固定，在同样移动五千米的情况下，终点存在很多种。二维空间三维空间为了研究方便，定义向量都是从原点出发。但是顺序是重要的！（4，3）和（3，4）是截然不同的向量是一组有序的数。如果只是表示方向，最多三个维度就足了更加抽象的表示：n维向量在日常生活中，人们所能感知到的最多只有三维空间，而三维空间之上的多维度空间都