内点、外点、边界点（yee些概念）

固定一个集合$S$和一个全集$E$
考虑一个点 $x$
[denote: $U_{\delta }(x)=(x-\delta ,x+\delta )$]
$x$是内点：$x\in S,\exists \delta >0,U_{\delta }(x)\subseteq S$，内点集合称为$S$的内部，记为$S^o$或$int(S)$
$x$是外点：$x\notin S,\exists \delta >0,U_{\delta }(x)\subseteq \bar{S}$，外点集合称为$S$的外部，记为$ext(S)$
$x$是边界点：$\forall \delta >0,\exists y\exists z,s.t.y\in U_{\delta }(x),z\notin U_{\delta }(x)$，边界点集合称为$S$的边界，记为$\partial S$
$x$是聚点：$\forall \delta >0,\exists 无穷多个y\in U_{\delta }(x),y\in S$，$S$的聚点全体称为导集，记为$S^{\prime }$
$x$是孤立点：$x\in S,\exists \delta >0,U_{\delta }(x)\cap S=${$x$}

包含关系：
内点一定是聚点
聚点可能是内点可能是边界点
孤立点一定是边界点
边界点可能是孤立点可能是聚点

延伸：
集合$S$中每一个点都是其内点，则将其称为开集
集合$S$包含其所有聚点，则将其称为闭集
$S^{\prime }\cup S$称为$S$的闭包，记为$\bar{S}$