【高等数学笔记】闭包、孤立点、导集、内点、边界的关系

本文采用的定义在上一篇文章《【高等数学笔记】证明：闭包一定是闭集》中给出。

---

一、孤立点

定义 若$a\in A$，但$a\notin A^{\prime }$，则称$a$为$A$的孤立点。
显然，根据定义，孤立点不是聚点，不属于$A$的导集，但属于$A$，因此属于$A$的闭包。

在上一篇文章我们介绍了

定理1 $a\in A^{\prime }⟺\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$（$\varnothing$表示空集）。

取它的否命题：

推论 $a\notin A^{\prime }⟺\exists \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$。

于是我们有：

定理4 孤立点不属于内部。
证明：设$a$是$A$的孤立点。假设$a\in A^{\circ }$，则$\exists \delta >0$使得$U(a,\delta )\subseteq A$。然而，$\exists \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$，分类讨论：
当$\delta \le \epsilon$时，$\mathring{U}(a,\delta )\subseteq \mathring{U}(a,\epsilon )$，则$\mathring{U}(a,\delta )\cap A=\varnothing$，$U(a,\delta )\subseteq A$显然不成立；
当$\delta >\epsilon$时，由$\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$知$\exists p\in \mathring{U}(a,\epsilon )$使得$p\notin A$，而$\mathring{U}(a,\epsilon )\subset U(a,\delta )$，所以$p\in U(a,\delta )$，故也不成立。
综上，孤立点不属于内部。证毕。∎

定义 设$a\in R^n$， A ⊆ R n A\subseteq R^n A⊆R