内点法

简单介绍处理不等式约束问题的内点法的算法流程。

不等式约束的极小化问题

$\min f_0(x)$

$$s.t.\quad f_i(x)\le0$$

$$Ax=b$$

假设该问题可解，即存在最优的$x^\star$，用$p^\star$表示最优值$f_0(x^\star)$。

用内点法求解问题，主要分为两种：

1. 用Newton方法或者求解一系列等式约束问题
2. 求解一系列KKT条件的修改形式

这里只讨论一种特殊的内点法–障碍法。

对数障碍函数和中心路径

一种尝试是将不等式约束问题近似转化为等式约束问题，从而应用Newton方法求解。 因此，可以将原问题写成：

$$\min f_0(x)+\sum_{i=1}^mI_{\_}(f_i(x))$$

$$s.t.\quad Ax= b$$

其中