[FROM LUOGU]解方程

最新推荐文章于 2022-04-12 15:46:20 发布

Park Corsa

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分类专栏： ---数学--- 文章标签： LUOGU

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本文探讨了在大规模数据背景下，如何通过迭代方法高效求解多项式方程，并提出了一种利用质数取模和剪枝策略来减少计算复杂度的方法。通过多个质数的取模结果确认解的有效性，进一步提高了算法的准确性和效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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SOL
首先有很大的数据规模，所以只能取模判断是否为0
其次计算这个多项式的值可能比较复杂，如果用pow函数或者快速幂复杂度就肯定炸了，常数小的话可以过70分
所以可以迭代：
$计算第一次： a n * x + a n - 1$
$计算第二次： (a n * x + a n - 1) * x + a n - 2$
$\dots \dots$
如此以来，求一个多项式就只需计算 $n$ 次
除此之外，可以进行一些剪枝，例如对于一个小质数 $p$ ，先求 $1 < = x < p$ 的答案，然后对于 $x < = p < = m$ ，看一下 $x m o d p$ 即可
为了保险起见，最好多用几个质数（就像Hash一样），如果取模出来的答案都为 $0$ ，才确定为解，这样同时也可以减去一些无用状态

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
inline char nc(){
    static char buf[10000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,10000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int rd(){
	int re data=0;static char ch=0;ch=nc();
	while(!isdigit(ch))ch=nc();
	while(isdigit(ch))data=(data<<1)+(data<<3)+(ch^48),ch=nc();
	return data;
}
const int N=1e6+5,pa=1e5+7,pb=1e9+7;
int n,m,a[105],b[N],ans[N],cnt;char ch;bool w,tag[pa];ll aa,bb;
inline int f(ll x,int mod,int *t,ll sum=0){sum=t[n];for(int re i=n-1;~i;--i)sum=(sum*x+t[i])%mod;return sum;}
signed main(){
	n=rd(),m=rd();
	for(int re i=0;i<=n;++i){
		aa=bb=0,w=0,ch=nc();
		while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=nc();
		if(ch=='-')w=1,ch=nc();
		while(isdigit(ch))aa=((aa<<1)+(aa<<3)+(ch^48))%pa,bb=((bb<<1)+(bb<<3)+(ch^48))%pb,ch=nc();
		a[i]=w?pa-aa:aa,b[i]=w?pb-bb:bb;
	}
	for(int re i=0;i^pa;++i)if(!f(i,pa,a))tag[i]=1;
	for(int re i=1;i<=m;++i){
		if(!tag[i%pa])continue;
		if(!f(i,pb,b))ans[++cnt]=i;
	}printf("%d\n",cnt);
	for(int re i=1;i<=cnt;++i)printf("%d\n",ans[i]);
	exit(0);
}