[Luogu P3232] [BZOJ 3143] [HNOI2013]游走

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#高斯消元 #动态规划 #数学

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本文探讨了如何通过合理编号图中的边来最小化随机游走在特定图上的得分期望值。利用点经过次数的期望来推导边被经过次数的期望，并通过高斯消元法求解线性方程组，最终实现对边的有效编号。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目描述

一个无向连通图，顶点从 $1$ 编号到 $N$ ，边从 $1$ 编号到 $M$ 。小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在 $1$ 号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达 $N$ 号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。现在，请你对这 $M$ 条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行是正整数 $N$ 和 $M$ ，分别表示该图的顶点数和边数，接下来 $M$ 行每行是整数 $u$ ， $v$ ( $1\leq u,v<=N$ )，表示顶点 $u$ 与顶点 $v$ 之间存在一条边。输入保证30%的数据满足 $N\leq 10$ ，100%的数据满足 $2\leq N\leq 500$ 且是一个无向简单连通图。

输出格式：

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留 $3$ 位小数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

3.333

说明

边 $(1,2)$ 编号为 $1$ ，边 $(1,3)$ 编号 $2$ ，边 $(2,3)$ 编号为 $3$ 。

解题分析

显然我们把边走过次数期望大的的编号尽量标小，期望小的编号标大最优，但如果直接这么搞的话很难统计期望。

因为边是建立在点之间的（废话），如果知道了点的期望不难推出边的期望。设 $P_A$ 为标号为 $A$ 的点期望经过次数， $E(A,B)$ 表示 $A,B$ 间有边， $T$ 为终点， $degree[A]$ 表示 $A$ 号点的度数，那么有：

P_{A} = \sum_{E (A, B), B \neq T} \frac{P_{B}}{d e g r e e [B]}

$P_A=\sum_{E(A,B),B\ne T}\frac{P_B}{degree[B]}$
注意到一开始我们是在

1 1 $1$ 号点的，所以我们计算

1

$1$ 号点时需要将

PA+1 P A + 1 $P_A+1$ 。而终点是无法转移到其他点的，所以要除掉这种情况。

因为有环，直接递推是不行的，所以我们把每个式子视为一个方程，高斯消元解就可以了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define R register
#define IN inline
#define gc getchar()
#define W while
#define db double
#define MX 2050
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    W (!isdigit(c)) c = gc;
    W (isdigit(c))
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48, c = gc;
}
db mat[MX][MX], res[MX], deg[MX];
int dot, line, head[MX], cnt;
struct Edge {int to, nex;} edge[500050];
struct INFO {int from, to; db tim;};
IN bool operator < (const INFO &x, const INFO &y)
{return x.tim < y.tim;}
std::vector <INFO> rec;
IN void addedge(R int from, R int to)
{edge[++cnt] = {to, head[from]}, head[from] = cnt;}
void Gauss()
{
    R int i, j, k;
    for (i = 1; i < dot; ++i)
    {
        for (j = i + 1; j < dot; ++j)
        if(fabs(mat[i][i]) < fabs(mat[j][i])) std::swap(mat[i], mat[j]);
        for (j = i + 1; j <= dot; ++j) mat[i][j] /= mat[i][i];
        for (j = 1; j < dot; ++j)
        {
            if(i != j)
            {
                for (k = i + 1; k <= dot; ++k)
                mat[j][k] -= mat[j][i] * mat[i][k];
            }
        }
    }
    for (i = 1; i < dot; ++i)
    res[i] = mat[i][dot];
}
int main(void)
{
    int a, b, bd;
    in(dot), in(line);
    for (R int i = 1; i <= line; ++i)
    in(a), in(b), addedge(a, b), addedge(b, a), deg[a] += 1.0, deg[b] += 1.0, rec.push_back({a, b});
    for (R int i = 1; i < dot; ++i)
    {
        mat[i][i] = 1;
        for (R int j = head[i]; j; j = edge[j].nex)
        if(edge[j].to != dot) mat[i][edge[j].to] = -1.0 / deg[edge[j].to];
    }
    mat[1][dot] = 1;
    Gauss();
    for (R int i = 0; i < line; ++i)
    {
        a = rec[i].from, b = rec[i].to;
        rec[i].tim = res[a] / deg[a] + res[b] / deg[b];
    }
    std::sort(rec.begin(), rec.end());
    db ans = 0;
    for (R int i = 0; i < line; ++i) ans += rec[i].tim * (line - i);
    printf("%.3lf", ans);
}