5、网络斯坦纳树与度量近似算法解析

网络斯坦纳树与度量近似算法解析

1. 网络斯坦纳树性能分析

在网络斯坦纳树问题中，我们关注迭代舍入算法输出的期望成本。通过结合相关公式（4.1）、（4.3）、（4.4），可以得到：
[c(T ) \leq \sum_{e\in KR} \left(\sum_{C : e\in \overrightarrow{T’ C}} x_C\right)w_T (e) = \sum {C\in C} \left(\sum_{e\in \overrightarrow{T’ C}} w_T (e)\right)x_C = \sum {C\in C} w_T (T’ C)x_C = \sum {C\in C} br_T (R_C)x_C]

对于迭代舍入算法，存在常数 (M)，使得对于任意迭代，(\sum_{C\in C_t} x_t^C \leq M) 成立（实际上，(M) 可以取为 (|R|)）。引入一个零成本的虚拟有向分量 ({r})，并在 (DCR_t) 的线性规划公式中添加约束 (\sum_{C\in C_t} x_t^C = M)。在第 (t) 次迭代中，有向分量 (C \in C_t) 以概率 (\frac{x_t^C}{M}) 被采样。

设 (opt_t) 为 (DCR_t) 的最优值，迭代舍入算法的输出 (S_{apx}) 的期望成本为：
[E[c(S_{apx})] = \sum_{t\geq1} E[c(C_t)] = \sum_{t\geq1} E\left[\sum_{C\in C_t} \frac{x_t^C}{M} c(C)\right] \leq \frac{1 + \varepsi