40、最小污染问题与低维汉明度量斯坦纳最小树问题解析

最小污染问题与低维汉明度量斯坦纳最小树问题解析

最小污染问题

最小污染问题在社会网络中的流行病和恐慌控制、网络中的病毒传播控制等不同领域有着广泛应用。下面我们将深入探讨其复杂性、可近似性以及相关算法。

问题定义与性质

• 恰当组件 ：左图 $G \setminus E′$ 的连通组件若为顶点集为 ${d_l, a_i, b_j, c_k}$ 且中心为 $d_l$ 的星型图，则称其为恰当组件。对于任意 $g \in B \cup C$，顶点 $g′$ 和 $g′′$ 恰好有一个在某个恰当组件中。
• NP 难度 ：通过简单的小工具归约，证明了无权最小平均污染问题（MACP）和无权最小最坏污染问题（MWCP）即使在二分图上也是 NP 难的。同时，最小最坏污染问题在幂律图上是 NP 难的，但在树上存在多项式时间算法解决加权最小最坏污染问题。

近似算法

• 贪心策略 ：Kimura 等人曾利用键渗流方法估计每条边删除的减少量，并通过实验表明贪心策略在独立级联模型和线性阈值模型中效果良好。然而，实际上贪心策略可能表现不佳。贪心策略是最小平均污染问题和最小最坏污染问题的 $\min{O(K), n}$ 近似算法，并且存在实例使得贪心算法在这两个问题上的性能为 $\min{\Omega(K), n}$。
• 双准则近似算法 ：对于最小平均污染问题实例 $I = \langle G = (V, E), K\rangle$，定义