9、最短缓降路径：算法与近似方法解析

最短缓降路径：算法与近似方法解析

在地形路径规划中，寻找最短缓降路径（Shortest Gently Descending Paths，SGDP）是一个重要的问题。下面将深入探讨SGDP的相关性质和两种近似算法。

1. 最短缓降路径的性质

• 临界路径 ：在特定条件下，存在一条临界路径，它穿过至多 ⌊d/2⌋ + 1 个面。例如，对于面 fk 中的顶点，当满足一定高度条件时，能找到内部点 ak+1，使得 aak+1 和 ak+1ak 都是临界方向，从而形成临界路径 (a, ak+1, ak, …, a0 = a′)。
• 理想SGDP ：理想的SGDP是指路径穿过每个面的内部至多一次。但实际上，SGDP不一定具有这个性质，如图1中的SGDP可能会多次访问同一个面，甚至可以通过调整角度让路径无限次访问一个面。不过，我们可以证明，如果存在从 s 到 t 的缓降路径，那么就存在从 s 到 t 的理想SGDP。具体证明思路是，若路径 P 多次访问面 f 的内部，可将第一次和最后一次访问之间的部分替换为一条缓降的捷径，该捷径位于面 f 内且长度不大于原路径。

2. 使用均匀斯坦纳点的近似算法

2.1 算法步骤

1. 添加均匀斯坦纳点 ：
   • 选取一组水平平面，使任意两个连续平面之间的距离至多为 δ = ϵh / (4n cos θ cos ψ)，并确保每个顶点都有一个水平平面穿过。
   • 在这些平面与地形的非水平边的所有交点处放置