Codeforces 768B Code For 1 线段树思想

本文解析了CodeForces上的一道题目,该题要求计算指定区间内通过特定操作产生的1的数量。通过递归思想及线段树结构,实现了一个高效的解决方案。

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题目:http://codeforces.com/contest/768/problem/B

题意:

给一个数n,和一个区间[l,r] (r-l<1e5,n<2^50),每次可以把数n分成(n/2,n%2,n/2)知道所有数变成0或1,问区间内有多少个1?

分析:

因为[l,r]的范围小于1e5,所以想到枚举区间中的第pos个数,判断这个数是0还是1即可。递归去判断最多50,所以不会超时。递归如何判断呢?每次把n去递归模拟,一层层往下,就可以找到第pos个位置,然后看一下是0还是1即可。

上面递归判断的思想稍微转化一下,线段树的结构呼之欲出(这不就是线段树吗WOW),所以找到n展开后的最大区间长度,然后在这个区间里去找[l,r],这就很容易了。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int query(LL n,LL L,LL R,LL l,LL r)
{
    if(R<l||L>r||n==0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    LL mid=l+r>>1;
    return query(n/2,L,R,l,mid-1)+query(n%2,L,R,mid,mid)+query(n/2,L,R,mid+1,r);
}

int main()
{
    LL n,l,r;
    cin>>n>>l>>r;
    LL len=1,x=n;
    while(x>1){
        len=len*2+1;
        x>>=1;
    }
    printf("%d\n",query(n,l,r,1,len));
    return 0;
}
### 线段树优化建图的实现方法与应用 线段树优化建图是一种在图论中用于处理大规模区间连边问题的技术,尤其适用于最短路、网络流等场景。其核心思想是利用线段树的结构来减少节点和边的数量,从而降低时间和空间复杂度。 #### 实现方法 在线段树优化建图中,每个点通常被分为入点(in)和出点(out)。例如,对于一个点 $ u $,将其拆分为 $ u_{\text{in}} $ 和 $ u_{\text{out}} $。接下来,构建两棵线段树:**入树**(维护入点)和**出树**(维护出点)[^2]。 - **出树**中的非根节点向其父节点连一条权值为0的有向边。 - **入树**中的非叶子节点向其左右儿子连一条权值为0的有向边。 - 对于原图中的每个点,连接一条从出点到入点的无向边,以防止一些异常情况的发生。 当需要对某个区间进行连边时,可以通过线段树的结构快速定位相关节点并建立连接。例如: - 如果是从一个点向另一个点连边,则直接连接对应的两个叶子节点。 - 如果是从一个点向一个区间连边,则将该点的出点连接到入树中对应区间的节点。 - 如果是从一个区间向一个点连边,则将出树中对应区间的节点连接到该点的入点。 - 如果是从一个区间向另一个区间连边,则引入一个虚拟节点,分别从出树中的节点连接到虚拟节点,并从虚拟节点连接到入树中的节点[^4]。 这种方法避免了传统暴力建图中 $ O(MN^2) $ 的时间复杂度,大大提升了效率。 #### 应用场景 线段树优化建图广泛应用于以下场景: 1. **最短路径问题**:如 Codeforces Round #406 (Div. 1) B. Legacy 题目中,使用线段树优化建图可以高效地处理区间连边问题,从而求解最短路径[^4]。 2. **网络流问题**:在某些网络流模型中,尤其是在涉及大量区间操作的情况下,线段树优化建图能够显著减少图的规模,提高算法效率[^2]。 3. **2-SAT问题**:在某些复杂的2-SAT问题中,线段树优化建图可以帮助更高效地处理变量之间的约束关系,例如 ARC069F Flags 问题中就使用了线段树优化建图结合二分法求解[^5]。 #### 示例代码 以下是一个简单的线段树优化建图的伪代码示例,展示如何构建出树并连接边: ```python class SegmentTreeNode: def __init__(self, left, right): self.left = left self.right = right self.left_child = None self.right_child = None self.parent = None def build_segment_tree(l, r): node = SegmentTreeNode(l, r) if l == r: return node mid = (l + r) // 2 node.left_child = build_segment_tree(l, mid) node.right_child = build_segment_tree(mid + 1, r) node.left_child.parent = node node.right_child.parent = node # 出树中非根节点向父节点连边(权值为0) add_edge(node.left_child, node, 0) add_edge(node.right_child, node, 0) return node def add_edge(u, v, weight): # 添加从u到v的有向边,权值为weight pass ``` 上述代码仅展示了出树的构建过程,实际应用中还需要构建入树,并根据具体问题添加相应的边。 ---
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