牛客寒假集训J题一群小青蛙呱蹦呱蹦呱

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求n个数的LCM。

求解

由唯一分解定理得：
$$a=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times ...\times p_m^{k_m}$$
$$b=p_1^{j_1}\times p_2^{j_2}\times p_3^{j_3}\times ...\times p_m^{j_m}$$
其中p为质数。

有

$$gcd(a,b)=p_1^{min(k_1,j_1)}\times p_2^{min(k_2,j_2)}\times p_3^{min(k_3,j_3)}\times ...\times p_m^{min(k_m,j_m)}$$

$$lcm(a,b)=p_1^{max(k_1,j_1)}\times p_2^{max(k_2,j_2)}\times p_3^{max(k_3,j_3)}\times ...\times p_m^{max(k_m,j_m)}$$

上面的性质可以由2个推广到n个。

题解

这题显然是要求所有n以内，包含两个及以上不同质因子的数的LCM。

根据上述性质，要求LCM，我们只需求出所有p的max值即可，显然，和2组合时，每个p可以取到max。

因此我们可以用欧拉筛筛出所有素数，然后对于每个素数，看能用2和最多几个该素数相乘得到。

2本身比较特殊，因为题目要求必须两个不同的质因子，所以计算2的贡献时，我们选用第二小的3即可。

还有一个小细节：

欧拉筛筛素数的时候，只需筛到n/2，因为(n/2,n]的素数肯定不可能和另一个素数（最小为2）相乘能得到n。

代码

/*
 * @Author: hesorchen
 * @Date: 2020-12-16 21:04:44
 * @LastEditTime: 2021-02-02 20:18:51
 * @Description: 栽种绝处的花
 */

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 160000000
// #define MAXN 80000000 //只需筛到n/2

int preme[16000010], cot;
bool ispreme[160000010];
void pre()
{
    ispreme[0] = ispreme[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++)
    {
        if (!ispreme[i])
            preme[++cot] = i;
        for (int j = 1; j <= cot && preme[j] * i <= MAXN; j++)
        {
            ispreme[preme[j] * i] = 1;
            if (i % preme[j] == 0)
                break;
        }
    }
}
long long ans = 1, mod = 1000000007;
int main()
{
    pre();
    int n;
    cin >> n;
    long long temp = n / 3; //先特判质数2，用3组合最省
    while (temp >= 2)
    {
        temp /= 2;
        ans = (ans * 2) % mod;
    }
    for (int i = 2; i <= cot; i++)
    {
        long long temp = n / 2, f = 0;
        while (temp >= preme[i])
        {
            f = 1;
            temp /= preme[i];
            ans = (ans * preme[i]) % mod;
        }
        if (!f)
            break;
    }
    if (ans >= 6)
        cout << ans << endl;
    else
        cout << "empty" << endl;
    return 0;
}

参考资料

• 2021牛客寒假算法基础集训营1 J 一群小青蛙呱蹦呱蹦呱