2025牛客寒假训练营6 J题题解

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/95338/J
解题思路：分为以下四种情况：
1.如果$y\ge n$，那么显然每回合都要磨刀，从某个回合开始连续杀怪，直到游戏结束。设$t$为从第一个回合开始连续不杀怪的回合，设$D(t)$为在前述条件下造成的总伤害值，可以得出$D(0)=n(x+1)$。然后由特殊推一般，可得$D(t)=(n-t)(x+1-t)$。令$\frac{\partial D}{\partial t}=0$可得，$t=\frac{n-(x+1)}{2}=t_0$。此时再分为以下两种情况：
1)如果$n\le x+1$，那么显然当$t=0$时$D(t)$取得最大值$D(0)$。
2)否则，当$t=t_0$时取得最大值，最大值为$\frac{(n+x+1{)}^2}{4}$。但这里要注意一点，如果$n\%2\ne (x+1)\%2$，那么最大值为$D(t_0)-\frac{1}{4}$。
综上所述，$D_{\max }=\{\begin{array}{ll}n(x+1)& n\le x+1\\ \lfloor \frac{(n+x+1{)}^2}{4}\rfloor & n>x+1\end{array}$。
2.如果$x+2y-1\le n$，那么最优解就是先把刀磨到最亮（攻击力为$x+y$），然后从用完最后一个磨刀石的回合开始杀怪，直到把刀用坏。此时造成的总伤害值就是$\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}$。
3.如果$x+2y-1>n$，这时就要看从哪个回合开始杀怪可以造成最大伤害值。容易证明，最优解肯定在前y次的范围内。设$t$为从第一个回合开始连续不杀怪的回合，设$D(t)$为在前述条件下造成的总伤害值。显然，用完最后一个磨刀石的那一个回合结束后时，刀的攻击力为$x+t$，如果$x+t\le n-y$，那么游戏还没结束，刀就被用坏了，此时$D(t)=(x+1+t)(y-t)+\frac{(x+t)(x+t+1)}{2}$；否则，这把刀足够用剩下的$(n-y)$个回合，此时$D(t)=(x+1+t)(y-t)+\frac{(n-y)((x+t)+(x+t+1-(n-y))}{2}$，此时答案为${\min }_{t\in [0,n]}D(t)$。这种情况似乎没办法用一个多元初等函数来表示，只能跑暴力寻找解。好在$\mathcal{O}(Ty)$的时间复杂度可以通过本题。

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#define int long long
#define cd(n,d) std::cout<<std::fixed<<std::setprecision((n))<<(d) 
#define ms(a,b) std::memset((a),(b),sizeof(a))
#define mc(a,b) std::memcpy((a),(b),sizeof(b))
#define all(v) (v).begin(),(v).end()
#define _all(v,n) (v),(v)+(n)
#define sum(v,x) std::accumulate((v).begin(),(v).end(),(x))
#define _sum(v,n,x) std::accumulate((v),(v)+(n),(x))
#define fill(v,x) std::fill((v).begin(),(v).end(),(x))
#define iota(v,x) std::iota((v).begin(),(v).end(),(x))
#define _fill(v,n,x) std::fill((v),(v)+(n),(x))
#define _iota(v,n,x) std::iota((v),(v)+(n),(x))
#define cln std::cout<<"\n"
#define eb emplace_back
#define pb pop_back
#define ef emplace_front
#define pf pop_front 
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define FOR0(i,x,y) for(int i=(x);i<(y);i++)
#define _FOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define _FOR0(i,x,y) for(int i=(x);i>(y);i--)
#define F first
#define S second

using PII=std::pair<int,int>;

void solve(){
	int n,x,y;
	std::cin>>n>>x>>y;
	if(y>=n){
		if(n<=x+1){
			std::cout<<n*(x+1)<<"\n";
		}else{
			std::cout<<(n+1+x)*(n+1+x)/4<<"\n";
		}
	}else{
		if(x+2*y-1<=n){
			std::cout<<(x+y)*(x+y+1)/2<<"\n";
		}else{
			int ans=0;
			FOR(t,0,y){
				int damage;
				if(x+y+t>n){
					damage=(x+1+t)*(y-t)+(n-y)*((x+1+t-1)+(x+1+t-(n-y)))/2;
				}else{
					damage=(x+1+t)*(y-t)+(x+t)*(x+1+t)/2;
				}
				ans=std::max(ans,damage);
			}
			std::cout<<ans<<"\n";
		}
	}
}

signed main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	
	int T=1;
	std::cin>>T;
	
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}