树上差分之点差分

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本文介绍了一种基于树结构的差分算法实现方法，通过维护节点权值并利用最近公共祖先(LCA)技巧，有效地处理了路径上的点权值更新及查询问题。该算法适用于树形数据结构上的动态修改和查询操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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给定一棵树，给出若干次修改操作以及少次查询操作

修改操作：给定两个点 $u, v$ ，将 $u, v$ 路径上所有的点权值 $+ k$

查询操作：询问点 $x$ 的权值

思路：树上差分，要修改 $u, v$ 路径上的所有点，只需

$f [u] + = k$
$f [v] + = k$
$f [l c a (u, v)] - = k$
$f [f a t h e r [l c a (u, v)]] - = k$

点 $x$ 的权值就是以 $x$ 为根的子树的权值和(前缀和)。

由于查询的时候需要跑一边dfs，因此查询次数不能过多

AC代码：

struct node
{
    int v, w, next;
} e[200010];

int head[50010];
int ct = 1;

void add(int u, int v)
{
    e[ct].v = v;
    e[ct].next = head[u];
    head[u] = ct++;
}

int father[50010][32];
int depth[50010];
void dfs(int now, int dep, int fa)
{
    depth[now] = dep;
    father[now][0] = fa;
    for (int i = 1; i <= 30 && father[now][i - 1]; i++)
        father[now][i] = father[father[now][i - 1]][i - 1];
    for (int i = head[now]; i; i = e[i].next)
        if (e[i].v != fa)
            dfs(e[i].v, dep + 1, now);
}

int lca(int u, int v)
{
    if (depth[u] < depth[v])
        swap(u, v);
    int cha = depth[u] - depth[v];
    for (int i = 0; i <= 30; i++)
        if ((1 << i) & cha)
            u = father[u][i];
    if (u == v)
        return u;
    for (int i = 30; i >= 0; i--)
        if (father[u][i] != father[v][i])
        {
            u = father[u][i];
            v = father[v][i];
        }
    return father[u][0];
}

int delta[50010];

void chafen(int u, int v)
{
    int fa = lca(u, v);
    delta[father[fa][0]]--;
    delta[fa]--;
    delta[u]++;
    delta[v]++;
}

int ans = 0;
int dfs2(int now, int fa)
{
    int res = delta[now];
    for (int i = head[now]; i; i = e[i].next)
        if (fa != e[i].v)
            res += dfs2(e[i].v, now);
    ans = max(res, ans);
    return res;
}

int main()
{
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int temp1, temp2;
        scanf("%d%d", &temp1, &temp2);
        add(temp1, temp2);
        add(temp2, temp1);
    }
    dfs(1, 1, 0);
    for (int i = 1; i <= k; i++)
    {
        int temp1, temp2;
        scanf("%d%d", &temp1, &temp2);
        chafen(temp1, temp2);
    }
    dfs2(1, 0);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}