博弈论、SG定理和SG函数

巴什博奕与SG定理

最新推荐文章于 2024-08-26 16:31:24 发布

原创

最新推荐文章于 2024-08-26 16:31:24 发布 · 5.5k 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

本文深入探讨了巴什博奕这一经典的组合游戏，分析了其胜负判断的数学原理，介绍了PN位的概念及其性质，并详细解释了Sprague-Grundy定理，通过实例展示了如何运用SG函数和mex运算解决复杂的游戏策略问题。

巴什博弈：一堆物品有n个，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

结论：

如果n%(m+1)==0 ,那么先手必败，否则后手必败

首先我们引入PN点概念
P-position：在该点时，先手必败
N-position：在该点时，先手必胜

还有关于PN点的性质：

证明：

如果n是0个，那么是P-position，结合上面的PN点的性质3，可以得到1~ m都是N-position，而m+1只能变成1~m，也即只能进入P-position，因此是N-position，以此类推，可以得到，当n是(m+1)的倍数时，先手必败，否则都可以一步进入P-position

上面的巴什博奕只有一堆石子，比较容易直接分析，那么如果是n堆石子，并且第i堆石子每次可以取1~mi个呢？

Sprague-Grundy定理：游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和（异或和）。

利用SG定理，我们可以将一个游戏分解成若干个子游戏来解决。

引入一个mex(minimal excludant)运算：这是一个针对集合的运算；返回这个集合中不包含的最小的非负整数，例如mex({1,2,3})=0,mex({0,2,3})=1,mex({0,1,3})=2,

在这之前，你应该清楚，我们可以从终局往后推理，得到后面所有点的PN态，例如在上面的证明中，n=0是P-position，那么我们就可以推理得到1~ m都是N-position，这种情况下，我们就可以称n=(1~m)为n=0后继状态

sg函数：
sg(x)=mex(S)，其中S为x所有后继状态的 sg函数值集合
也即 sg(x)=mex({sg(y1),sg(y2),sg(y3)…})

具体使用看下面的例题与代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll f[1010]; //一次可以取的数量
ll sg[1010