KMP字符串匹配算法

今天刚学KMP，做点输出，一方面查找漏洞，加深理解，另一方面帮助大家学习。

应用场合

给你两个字符串$n$，$m$，问你在$n$是否包含$m$
例如$n="abcabdabcabc"，m="abcabc"$

朴素解法思想

朴素解法：将m与n逐个对比

1. 从头对比

n|  a b c a b d a b c a b c
m|  a b c a b c
    ^（指针）

2. 对比到下面这一步时发现不同

n|  a b c a b d a b c a b c
m|  a b c a b c
              ^（指针）

3. 朴素解法：将m串往后退一格，继续逐一对比

n|  a b c a b d a b c a b c
m|    a b c a b c
      ^（指针）

下面是朴素解法后面的其中几步

n|  a b c a b d a b c a b c
m|        a b c a b c
              ^（指针）

n|  a b c a b d a b c a b c
m|              a b c a b c
                          ^（指针）

可以计算出，朴素算法的时间复杂度是$O(nm)$

KMP算法思想

然而，在朴素解法第3步中，我们其实可以直接将$m$串往后移动3个位置而不是1个位置
依据：在前面比对完的的$abcab$串中，前缀ab和后缀ab相同，也即该串的最大公共前缀后缀长度为2，因此我们可以直接跳过中间的$b、c$，也即将$m$串往后移动2个位置。

• 上接朴素匹配的第二步

n|  a b c a b d a b c a b c
m|        a b c a b c
          * * ^（指针）

这时，我们仍然可以保证，$m$串前面的$ab$与$n$串后面的$ab$（上面*标记的两个位置）依旧可以对应，于是可以使指针不回退，继续向前搜素。正因为KMP算法中的指针并没有回退，而是一直向前或暂时暂停，因此具有$O(n+m)$的优秀时间复杂度

了解了KMP算法的原理之后，要做的就是计算$m$串每个位置前缀字符串的最大前缀后缀公共长度，例如：

a b c a b c

a|           0
a b|         0
a b c|       0
a b c a|     1 (a=a)
a b c a b|   2 (ab=ab)
a b c a b c| 3 (abc=abc)

next数组预处理

如果能够预处理出上面的数据，那么我们匹配时，就可以最大程度的往后移，节省时间。当然，这个预处理也是KMP算法的核心（也最难理解）。

这个预处理数组在算法书中被记作$next$数组，$next[i]$表示$m$串前$i$个字符的最大公共长度，例如对应例子中的$m$串,$next[1]=next[2]=next[3]=0，next[4]=1，next[5]=2，next[6]=3$。

假设现在已经得到$next[j]$了，怎么递推$next[j+1]$呢？
分两种情况递推：

1.$m[j+1]=m[next[j]]$

看上去很复杂，我们来看具体例子

m|    a b c a b c 
                ^（指针）

假设我们已经求出$next[5]=2$，（显然，可以直接看出这个结果，为什么前面可以求得$next[5]=2$不重要，重要的是怎么用前者递推后者），当$m[j+1]=m[next[j]]$时，也就是$m[5]=m[2]$，这时候最大公共长度也就是在前面的基础上+1，$next[6]=next[5]+1$。应该不难理解。

很巧妙的一点是，$next[5]=2$表示的是前5个字符的最大公共长度是2，这时候的$m[next[5]]$恰巧又是最大前缀的后面那个字符。因此要比对$j+1$位置和上一次最大前缀后一个字符是否相同，就是条件中的$m[j+1]=m[next[j]]$

看代码：

void getnxt()
{
    ll lenb = b.size(); //求b字符串对应的nxt数组
    ll j = 0, k = -1;   //k表示上一次的最大公共长度，也就是nxt[j-1]
    nxt[0] = -1;
    while (j < lenb)
    {
        if (k == -1 || b[j] == b[k]) //如果下一位相同，那么就+1
            nxt[++j] = ++k;
        else //如果不同，也就是下面要讲的情况2
            k = nxt[k];
    }
}

2.当然就是$m[j+1]\ne m[next[j]]$

这是核心（难点）中的核心（难点）

为了方便说明，我们以字符串"abaaba#abaabaa"为例

a b a a b a # a b a a b a a
----- -----   ----- -----
  1     2       3     4
-----------   -----------
     5             6

假设我们现在已经求得$k=next[13]=6$，要递推得到$next[14]$

上面的代码已经给出结论，我们需要不断的回溯$k=next[k]$直到遇到$-1$或者匹配成功。
为什么是$k=next[k]$呢？
看上面的例子中，虽然 # 和$a$不相同，但是我们已经知道$a$前面的$next[13]$个字符和整个字符串最前面的$next[13]$个字符是相同的（也就是$5$和$6$部分）。在上面的例子中，又有$k=next[k]=next[next[13]]=next[6]=3$，这时候就有，前$6$个字符的最大前缀后缀公共长度为$3$，也就是$1=2$，又有$5=6$，所以得到$1=4$（匹配成功）所以要只需从$1$和$4$的后面继续对比即可。当然也可能遇到$-1$，也就是回溯到$next[0]=-1$也不能匹配，那么下一个位置的最大公共长度自然就是$0$了

最终代码

/*
 * @Author: hesorchen
 * @Date: 2020-07-02 22:19:34
 * @LastEditTime: 2020-07-10 21:13:02
 * @Description: https://hesorchen.github.io/
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll nxt[1000100];
string a, b;
void getnxt()
{
    ll lenb = b.size(); //求b字符串对应的nxt数组
    ll j = 0, k = -1;   //k表示上一次的最大公共长度，也就是nxt[j-1]
    nxt[0] = -1;
    while (j < lenb)
    {
        if (k == -1 || b[j] == b[k]) //如果下一位相同，那么就+1
            nxt[++j] = ++k;
        else //如果不同，回溯找最优（长）的匹配子串
            k = nxt[k];
    }
}
bool kmp()
{
    getnxt();
    ll lena = a.size(), lenb = b.size();
    ll i = 0, j = 0; //i指向a字符串，j指向b字符串
    while (i < lena)
    //可以发现 i指针从没有回退，保证了KMP的时间复杂度
    {
        if (j == -1 || a[i] == b[j])
            i++, j++;
        else
            j = nxt[j]; //从最长公共长度后缀下一位开始继续找
        if (j == lenb)  //找到
            return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    while (cin >> a >> b)
        cout << (kmp() ? "yes" : "no") << endl;
    return 0;
}

参考资料

1. KMP算法详解
2. KMP算法详解
3. KMP算法–转
4. kmp算法的理解与实现
5. 字符串匹配的KMP算法
6. KMP算法最浅显理解——一看就明白