33、基于最弱前置条件的鲁棒性分析

基于最弱前置条件的鲁棒性分析

1. 抽象与上闭包算子

在研究中，我们选择用上闭包算子来描述具体域的抽象。给定一个具体域 $C$，上闭包算子 $\rho : C \to C$ 具有单调性、幂等性和扩展性，即对于任意 $x \in C$，都有 $x \leq_C \rho(x)$。这个算子将具体值映射到它们的抽象属性，也就是在抽象域中对具体值的最佳近似。

例如，在整数幂集 $\wp(\mathbb{Z})$ 上的算子 $\text{Sign}$，它将每个整数集 $S$ 与其符号相关联：
- $\text{Sign}(\varnothing) = \text{“none”}$
- 若对于所有 $n \in S$，$n > 0$，则 $\text{Sign}(S) = +$
- $\text{Sign}({0}) = 0$
- 若对于所有 $n \in S$，$n < 0$，则 $\text{Sign}(S) = -$
- 否则，$\text{Sign}(S) = \text{“I don’t know”}$

这里使用的属性名称 “none”、$+$、$0$、$-$ 和 “I don’t know” 分别对应 $\wp(\mathbb{Z})$ 中的集合 $\varnothing$、${n \in \mathbb{Z} \mid n > 0}$、${0}$、${n \in \mathbb{Z} \mid n < 0}$ 和 $\mathbb{Z}$。

类似地，我们可以定义算子 $\text{Par} : \wp(\mathbb{Z}) \to \wp(\mathbb{Z})$，将每个整数集与其奇