53、预算约束下成本覆盖的作业分配问题解析

预算约束下成本覆盖的作业分配问题解析

在作业分配场景中，存在多种因素影响着分配方案的制定，如工人的努力程度、支付方式以及预算限制等。本文将深入探讨不同努力类型和支付方式组合下的作业分配问题，并给出相应的解决方案和分析。

问题定义与设定

我们考虑两种努力类型（分数型和二进制型）与三种支付类型组合形成的六种作业分配设置，具体如下：
| 努力类型 | 全独立支付 | 工人独立支付 | 工人依赖支付 |
| — | — | — | — |
| 二进制型 | BAI (NP - C, FPTAS) | BI (NP - C, P. - Time Approx.) | BD (NP - C, FPTAS) |
| 分数型 | FAI (P. Time) | FI (NP - C, P. - Time Approx.) | FD (P. Time) |

其中，总贡献 (Q(G) = \sum_{j} Q_j(G) = \sum_{i,j} q_{ij}e_{ij})，总支付 (M(G) = \sum_{j} M_j(G) = \sum_{i,j} r_{ij}q_{ij}e_{ij})。若工人的努力满足特定约束，我们称其为分数型；若进一步满足 (e_{ij} \in {0, 1})，则为二进制型。支付方式分为全独立支付（(r_{ij} = r)）、工人独立支付（(r_{ij} = r_j)）和工人依赖支付。

主要结果概述

1. BD和BAI问题 ：BD分配问题和BAI分配问题均为NP完全问题，且都有完全多项式时间近似方案（FPTAS）。