40、基于完美消除排序的树宽整数线性规划研究

基于完美消除排序的树宽整数线性规划研究

1. 引言

图的树宽及相关宽度参数在理论和实践上都具有重要意义。虽然判定任意图的树宽是NP完全问题，但许多NP难的图问题在树宽有界的实例上能高效求解。近年来，关于一般图树宽的精确计算进展主要源于2016年和2017年的PACE挑战。其中，Tamaki基于动态规划的方法在获取上界方面表现出色，而通过收缩算法得到图的子式来计算下界也很成功。此外，源于PACE的Jdrasil算法采用基于完美消除排序（PEO）的SAT方法。

早期就有人考虑基于PEO的树宽模型，2004年最早且直观的整数线性规划（ILP）公式就是基于PEO的。然而，近十年来，这些公式在常规计算中等规模图的树宽时并未取得成功，部分原因是缺乏积极应用预处理技术的算法框架，另一个主要障碍是基于PEO的ILP公式的线性规划松弛提供的下界较弱。本文旨在揭示这些公式的结构局限性，分析约束结构对下界的影响，研究流度量方法能否用于改进下界，并通过实验展示不同松弛下得到的下界之间的关系。

2. 树宽与完美消除排序

2.1 基本定义

• 树分解 ：无向图 $G = (V, E)$ 的树分解是一组集合 $X_i \subseteq V$（$i \in I$）以及一棵树 $T = (I, F)$，满足：
  • $\bigcup_{i \in I} X_i = V$；
  • 对于每条边 ${v, w} \in E$，存在一个集合 $X_i$ 使得 ${v, w} \subseteq X_i$；
  • 对于每个顶点 $j \in V$，树边 $F