34、余安全支配：难度结果与算法

余安全支配：难度结果与算法

研究背景与目标

在图论中，余安全支配问题（CSDD）是一个重要的研究方向。此前已有一些关于余安全支配数的研究成果，例如有人给出了图 $G$ 的 Mycielski 图 $\mu(G)$ 的余安全支配数 $\gamma_{cs}(\mu(G))$ 的界；2021 年，邹等人证明了可以在线性时间内计算恰当区间图 $G$ 的余安全支配数 $\gamma_{cs}(G)$ ；Kusum 等人证明了可以在线性时间内确定 cographs 的余安全支配数，同时表明 CSDD 问题对于分裂图仍然是 NP 完全的，还证明了该问题对于有界度图是 APX 困难的，并给出了不可近似性结果，以及对于有界度完美图是 APX 完全的。

本文在此基础上，研究了一些重要图类中最小余安全支配问题的复杂性，包括双弦图、有界树宽图、链图、弦二部图、星凸二部图和梳凸二部图。

基本定义

• 二部图 ：若图 $G = (V, E)$ 的顶点集 $V$ 可以划分为 $P$ 和 $Q$ ，使得对于任意边 $uv \in E$ ，要么 $u \in P$ 且 $v \in Q$ ，要么 $u \in Q$ 且 $v \in P$ ，则称 $G$ 为二部图。这样的划分 $(P, Q)$ 称为 $V$ 的二划分，$P$ 和 $Q$ 称为 $V$ 的部分。记二部图 $G = (V, E)$ 及其二划分 $(P, Q)$ 为 $G = (P, Q, E)$ ，其中 $n_1 = |P|$ ，$n_2 = |Q|$ 。
• 弦二部图 ：若二部图 $G = (P, Q, E)$ 中每个