27、多边形域中测地直径的最大畸变

多边形域中测地直径的最大畸变

1 引言

在度量几何中，确定同一基础集合上两种度量之间的最大畸变是一个基本问题。这里我们研究带孔多边形中测地（即最短路径）直径与欧几里得直径的最大比值。

1.1 多边形与相关定义

• 多边形域 ：设 $P_0$ 是一个简单多边形，$P_1, \ldots, P_h$ 是 $P_0$ 内部两两不相交的简单多边形，则带 $h$ 个孔的多边形 $P$（也称为多边形域）定义为 $P = P_0 \setminus \bigcup_{i = 1}^{h} P_i$。
• 距离定义 ：
  • 两点 $s, t \in P$ 之间的欧几里得距离为 $|st| = |s - t|_2$。
  • 最短路径距离 $geod(s, t)$ 是 $P$ 中连接 $s$ 和 $t$ 的多边形路径的最小弧长。
  • 几何膨胀（也称为拉伸因子）为 $\sup_{s,t \in P} \frac{geod(s, t)}{|st|}$。
  • 多边形 $P$ 的欧几里得直径为 $diam_2(P) = \sup_{s,t \in P} |st|$，测地直径为 $diam_g(P) = \sup_{s,t \in P} geod(s, t)$。
  • 我们关注的畸变定义为 $\varrho(P) = \frac{diam_g(P)}{diam_2(P)}$。

1.2 问题背景与已有结论

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