28、多边形域中测地直径的最大畸变及混合图的连通性问题

多边形域中测地直径的最大畸变及混合图的连通性问题

在几何与图论领域，多边形域中测地直径的最大畸变以及混合图的连通性问题有着重要的研究价值。下面将详细介绍相关内容。

多边形域中测地直径的最大畸变

在多边形域的研究中，我们关注测地直径的最大畸变情况。对于任意的 (h \in N) 和多边形 (P \in C(h))，有 (diam_g(P) \leq O(h^{1/2}) \cdot diam_2(P))。下面是详细的构造和证明过程。

构造特定多边形

我们从一个规则 (k) - 边形 (P_0) 开始，在其中构造 (k^3) 个矩形孔洞，设 (s) 为 (P_0) 的中心。然后通过以下三个步骤对其进行修改：
1. 以 (s) 为中心构造一个小的等边三角形 (T)，并在 (T) 的边缘周围构造三个矩形孔洞，使得孔洞总数达到 (k^3 + 3) 个。
2. 将每个孔洞 (P_j) 逆时针旋转一个小角度，这样当贪心路径在其中心的 (\epsilon) - 邻域到达 (P_j) 时，它总是向左转。
3. 对于任意的 (u \in S^1)，贪心路径 (greedy_P(s, u)) 在 (T) 的一个角的小邻域处离开三角形 (T)，然后从 (T) 的每个角沿着相同的 (k^2) 个孔洞继续延伸到外部边界。删除 (greedy_P(s, u)) 对于任意 (u \in S^1) 都不接触的所有孔洞，最终保留 (h = 3k^2 + 3) 个孔洞。

经过这样的构造，对于每个 (u \in S^1)，根据相关分析可知 (|greedy_P(s, u)| \geq \Omega(k))，又因为 (h = 3(k^2 + 1))