14、线性与非线性多智能体系统的共识与同步分析

线性与非线性多智能体系统的共识与同步分析

1. 连续时间系统与谱半径对共识的影响

在连续时间系统中，谱半径 $\rho(A)$ 对多智能体系统达成共识起着关键作用。当 $\rho(A) = 1$ 时，只要网络拓扑结构反复联合有根，系统就能达成共识。而当 $\rho(A) > 1$ 时，要保证达成共识，就需要对 $A$ 引起的发散进行额外限制，这种限制由智能体之间相互作用的收敛性来确定。

为了更直观地理解，我们来看一个数值例子。假设有 5 个智能体，每个智能体的状态在 $\mathbb{R}^3$ 中演化。交互拓扑 $G(t)$ 每 1 秒周期性切换，在 $G_a$、$G_b$ 和 $G_c$ 之间循环，且 $G_a$、$G_b$ 和 $G_c$ 的并集有生成树，即通信图反复联合有根。

我们选取矩阵 $A$ 和 $B$ 如下：
[
A =
\begin{bmatrix}
a & 0 & -1 \
0 & 0 & -2 \
0 & 2 & 0
\end{bmatrix}
]
[
B =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
]
其中 $a$ 是待选的数。可以容易地计算出 $A$ 的特征值集合 $\sigma(A) = {a, 2i, -2i}$。在模拟中，每个智能体的初始状态从区间