44、无小行星三元组图的连通反馈顶点集与最优循环阶梯彩票的重配置和枚举

无小行星三元组图的连通反馈顶点集与最优循环阶梯彩票的重配置和枚举

在图论和组合数学领域，连通反馈顶点集问题以及循环阶梯彩票的重配置和枚举问题是两个重要的研究方向。下面将分别对这两个问题进行详细的介绍。

无小行星三元组图的连通反馈顶点集

在无小行星三元组（AT - free）图中，连通反馈顶点集问题是一个具有挑战性的问题。我们先从一些基本的定义和引理开始。

对于图中的两个连续块 $B_i$ 和 $B_{i + 1}$，我们分别用 $p_i^5$、$p_i^6$、$p_i^7$ 和 $p_{i + 1}^5$、$p_{i + 1}^6$、$p_{i + 1}^7$ 来表示它们的第五、六、七个顶点。根据引理 3，有 $N[p_i^5, p_i^6, p_i^7] \cap F^ \neq \varnothing$ 和 $N[p_{i + 1}^5, p_{i + 1}^6, p_{i + 1}^7] \cap F^ \neq \varnothing$。

这里有几个重要的引理：
- 引理 10 ：设 $u \in (N[p_i^5, p_i^6, p_i^7] \setminus P’) \cap F^ $ 且 $v \in (N[p_{i + 1}^5, p_{i + 1}^6, p_{i + 1}^7] \setminus P’) \cap F^ $。包含 $u$ 的 2 - 型循环不包含 $v$，包含 $v$ 的 2 - 型循环也不包含 $u$。
- 引理 11 ：设 $B_i$ 是一个特殊块，且 $x \in (N[p_i