10、网络拓扑下线性系统的共识分析与观测性研究

网络拓扑下线性系统的共识分析与观测性研究

1. 分段固定网络拓扑的相关证明

1.1 引理 3.29 的证明

为简化证明，设 (O_{A,C(t)}(t) = O_I(t)) 和 (O_{A + K(t)C(t),C(t)}(t) = O_{II}(t))，并将它们写成如下块形式：
(O_I(t) =
\begin{bmatrix}
O_{I,1}(t) \
\vdots \
O_{I,n}(t)
\end{bmatrix})，(O_{II}(t) =
\begin{bmatrix}
O_{II,1}(t) \
\vdots \
O_{II,n}(t)
\end{bmatrix})

对于 (O_I(t))，根据定义 3.27 可得 (O_{I,1}(t) = C(t)) 且 (O_{I,2}(t) = C(t)A + \dot{C}(t))。假设 (O_{I,j}(t) = \sum_{i = 0}^{j - 1} a_{j}^{i} C^{(i)}(t)A^{j - 1 - i})，(1 \leq j \leq n - 1)，通过计算可得：
(O_{I,j + 1}(t) = \sum_{i = 0}^{j - 1} a_{j}^{i} C^{(i)}(t)A^{j - i} + \sum_{i = 0}^{j - 1} a_{j}^{i} C^{(i + 1)}(t)A^{j - i - 1} = \sum_{i = 1}^{j + 1} a_{j + 1}^{i - 1} C^{(i - 1)}(t)A^{j - i + 1})
其中标量 (a_{j}^{