23、椭圆曲线与密码学入门

椭圆曲线与密码学入门

椭圆曲线在数学领域中占据着极为重要的地位，其理论丰富且广泛。本文将围绕椭圆曲线及其在密码学中的应用展开，深入浅出地介绍椭圆曲线的基本概念、运算规则以及在有限域中的特性。

1. 椭圆曲线的基本定义

椭圆曲线通常由形如 (Y^2 = X^3 + AX + B) 的方程所定义，这类方程被称为魏尔斯特拉斯方程。需要注意的是，椭圆曲线并非我们在高中几何中所熟知的椭圆，它们之间仅有微弱的联系。

例如， (E_1 : Y^2 = X^3 - 3X + 3) 和 (E_2 : Y^2 = X^3 - 6X + 5) 就是两条典型的椭圆曲线。

2. 椭圆曲线上的“加法”运算

椭圆曲线有一个独特的特性，即可以对曲线上的两个点进行“加法”操作，从而得到曲线上的第三个点。这里的“加法”与常规加法有所不同，但具备交换律、结合律以及存在单位元等类似加法的性质。

具体的“加法”规则可以通过几何方法来描述：假设 (P) 和 (Q) 是椭圆曲线 (E) 上的两个点，我们先绘制过 (P) 和 (Q) 的直线 (L)，该直线与椭圆曲线 (E) 相交于三个点，即 (P)、 (Q) 和另一个点 (R)。接着，将点 (R) 关于 (x) 轴进行反射（即将其 (Y) 坐标乘以 (-1)），得到新的点 (R’)，这个点 (R’) 就被定义为 (P) 和 (Q) 的“和”，用符号 (P \oplus Q = R’) 表示。

下面通过具体例子来详细说明：
- 示例1 ：设椭圆曲线 (E) 的方程为 (Y^2 = X^3 - 15X + 18)，点 (P = (7, 16)) 和