13、稀疏线性系统稀疏解：固定参数可处理性及复杂分组测试应用

稀疏线性系统稀疏解：固定参数可处理性及复杂分组测试应用

在科学研究和实际应用中，我们常常会遇到求解线性系统的问题。当线性系统具有稀疏性时，如何高效地找到其稀疏解成为了一个关键问题。本文将深入探讨稀疏线性系统稀疏解的相关问题，包括问题的背景、求解方法以及复杂度分析等。

1. 问题背景

在许多领域，如机器学习、计算生物学等，我们需要处理形如 $Ax = b$ 的线性系统，其中 $A$ 是一个 $m×n$ 矩阵，其元素 $a_{ij} \geq 0$（$1 \leq i \leq m$，$1 \leq j \leq n$），$b$ 是长度为 $m$ 的向量，元素 $b_i \geq 0$。一个向量如果最多有 $k$ 个非零元素，则称其为 $k$-稀疏向量。我们的目标是确定 $Ax = b$ 的 $k$-稀疏非负解 $x$，其中矩阵 $A$ 的行是 $r$-稀疏的，即每行最多有 $r$ 个非零元素。

这个问题在蛋白质混合物的定量分析中有实际应用。在这个应用中，矩阵 $A$ 的列对应候选蛋白质，行对应肽（即酶消化产物或肽的质量），$a_{ij}$ 表示肽 $i$ 在蛋白质 $j$ 中出现的次数。向量 $b$ 表示通过质谱法获得的肽的测量量。我们希望推断混合物中存在哪些蛋白质以及它们的含量。

2. 基本概念和符号

• 向量和矩阵的限制表示 ：设 $R$ 是矩阵 $A$ 的任意行集合，$C$ 是任意列集合。我们用 $b[R]$ 和 $x[C]$ 分别表示向量 $b$ 和 $x$ 限制到对应于 $R$ 和 $C$ 的元素。$A[R]$ 和 $A[C]$ 分别表示矩阵 $A$ 限制到 $R$ 和 $C$ 的