2、线性系统稀疏解的理论与优化方法

线性系统稀疏解的理论与优化方法

1. 线性代数中的隐藏问题

经典线性代数在求解线性方程组方面取得了显著成就，相关理论确定、永恒且深刻，给人一种问题已完全解决的印象。线性方程组作为众多工程发展和解决方案的核心引擎，其知识在实际应用中得到了广泛且成功的运用。然而，在这个看似熟知的领域里，存在一个关于线性系统稀疏解的基础问题，直到最近才被深入探索。这个问题不仅有令人惊讶的答案，还激发了许多实际应用的发展。

2. 欠定线性系统

考虑一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$，其中 $n < m$，定义欠定线性方程组 $Ax = b$。这个系统的未知数多于方程数，因此可能出现两种情况：如果 $b$ 不在矩阵 $A$ 的列向量张成的空间内，则方程组无解；否则，方程组有无数个解。为避免无解的情况，我们假设 $A$ 是满秩矩阵，这意味着其列向量张成整个 $\mathbb{R}^{n}$ 空间。

在工程领域，我们经常会遇到这样的欠定线性方程组问题。以图像处理中的图像放大问题为例，一个未知图像经过模糊和缩小操作后，得到一个质量较低且尺寸较小的图像 $b$。矩阵 $A$ 代表这些退化操作，我们的目标是从给定的测量值 $b$ 中重建原始图像 $x$。显然，有无数个可能的图像 $x$ 可以“解释” $b$，其中一些可能看起来比其他的更好。那么，如何找到合适的 $x$ 呢？

3. 正则化方法

在上述图像放大问题以及许多其他具有相同形式的问题中，我们希望得到一个单一的解，但存在无数个解这一事实成为了主要障碍。为了将选择范围缩小到一个明确的解，需要额外的标准。一种常见的方法是正则化，即引入一个函数 $J(x)$