25、线性回归全解析：从基础到高级应用

线性回归全解析：从基础到高级应用

1. 线性回归概述

线性回归是机器学习中的基础问题，旨在找到一个函数 ( f )，将输入 ( x \in R^D ) 映射到对应的函数值 ( f(x) \in R )。在实际应用中，我们通常会得到一组训练输入 ( x_n ) 和对应的有噪声观测值 ( y_n = f(x_n) + \epsilon )，其中 ( \epsilon ) 是独立同分布（i.i.d.）的随机变量，表示测量或观测噪声。在本文中，我们假设噪声为零均值的高斯噪声。

线性回归在众多研究领域和应用中都有广泛的应用，包括时间序列分析、控制与机器人、优化以及深度学习应用等。它也是分类算法的关键组成部分。

解决线性回归问题需要解决以下几个方面的问题：
- 模型选择与参数化 ：给定一个数据集，需要选择合适的函数类（如多项式）来建模数据，并确定具体的参数化方式（如多项式的次数）。
- 参数估计 ：选择了回归函数的模型后，需要找到合适的模型参数。这通常涉及到不同的损失/目标函数和优化算法。
- 过拟合与模型选择 ：过拟合是指回归函数对训练数据拟合得“太好”，但对未见过的测试数据泛化能力差的问题。
- 损失函数与参数先验的关系 ：损失函数（优化目标）通常由概率模型驱动，需要研究损失函数与潜在先验假设之间的联系。
- 不确定性建模 ：在实际应用中，我们只能获得有限的训练数据，因此需要描述剩余的参数不确定性，以获得模型预测的置信度。

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