10、图收缩增加最小度问题的研究

图收缩增加最小度问题的研究

在图论领域，图的收缩操作以及相关的度可收缩性问题一直是研究的热点。本文将深入探讨图的度可收缩性问题，包括普通图和加权图的情况，并分析不同参数化下问题的复杂度。

1. 基本概念

在开始讨论之前，我们先明确一些基本的图论概念。对于一个图 $G$，我们用 $V_G$ 表示其顶点集，$E_G$ 表示其边集。若不会引起混淆，可省略下标。我们只考虑无环和无多重边的无向有限图。
- 邻域与度 ：若 $uv \in E_G$，则顶点 $v$ 是顶点 $u$ 的邻点。$N_G(u) = {uv | v \in V_G}$ 表示 $u$ 的邻域，顶点 $u$ 的度记为 $d_G(u) = |N_G(u)|$。在加权图中，边权函数为 $w$ 时，顶点 $u$ 的加权度为 $d^w_G(u) = \sum_{v \in N(u)} w(uv)$。
- 子图与收缩 ：子集 $U \subseteq V$ 若任意两点间都有边，则为团；若任意两点间都无边，则为独立集。$G[U]$ 表示由 $U$ 诱导的 $G$ 的子图。$G/e$ 表示对边 $e$ 进行（加权）收缩后得到的（加权）图。若图 $H$ 可由 $G$ 通过一系列（加权）收缩得到，则 $H$ 是 $G$ 的（加权）收缩图。
- 见证结构 ：对于两个图 $G$ 和 $H$，$H$ - 见证结构 $W$ 是将 $G$ 的顶点划分为 $|V_H|$ 个非空集合 $W(x)$（称为 $H$ - 见证袋），满足：
- 每个 $W(x)$ 诱导出 $G$ 的一个连通子图。
- 对于任意 $x,