60、图匹配与最小割问题的并行算法研究

图匹配与最小割问题的并行算法研究

在图论与算法领域，图匹配和最小割问题一直是研究的热点。图匹配问题旨在从图中找出满足特定条件的边的集合，而最小割问题则是寻找将图分割成两部分所需移除的最小边集。本文将介绍这两个问题相关的并行算法，包括近似最小割算法和从几乎均匀分布中采样匹配的并行算法。

近似最小割算法

近似最小割算法是对Matula的(2 + ϵ)-近似最小割算法的并行化。该算法的步骤如下：
1. 确定最小度 ：设图G的最小度为δ。
2. 计算k值 ：令k = δ / (2 + ϵ)。
3. 寻找最大k - 丛林 ：在图中找到一个最大的k - 丛林。
4. 构建新图 ：通过收缩所有非丛林边，从图G构建图G’。
5. 返回结果 ：返回min(δ, APPROX - MIN - CUT(G’))。

该算法在O(log m)级递归中返回一个介于最小割大小c和(2 + ϵ)c之间的值。使用特定的算法，在步骤3中可以在NC中使用O(nm)个处理器找到图G的(2 + ϵ)-近似最小割。

从几乎均匀分布中采样匹配的并行算法

在图的匹配问题中，从几乎均匀分布中采样匹配是一个具有挑战性的问题。传统的顺序马尔可夫链技术的直接NC模拟可能是P - 完全的，这意味着在NC中直接模拟随机游走是不可行的。

马尔可夫链及其P - 完全性

给定一个图G = (V, E)，设M为图G中所有匹配