P1627 [CQOI2009]中位数

最新推荐文章于 2021-04-20 14:52:38 发布

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本文探讨了一个特定的算法问题，即在给定的1至n的排列中，统计长度为奇数的连续子序列，其目标是找出中位数等于特定值b的子序列数量。通过分析子序列的特性，提出了一种高效的解决方案，利用cha数组和hash映射来优化查找过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给出1~n的一个排列，统计该排列有多少个长度为奇数的连续子序列的中位数是b。中位数是指把所有元素从小到大排列后，位于中间的数。

考虑60分做法：

首先明确一点：合法的子序列的左端点必须∈[1,pla]，右端点必须∈[pla,n]。

那么暴力做法就出来了。

枚举可能的合法的子序列左端点和右端点，然后对其排序，看排序后的序列是否合法即可。

复杂度： $O(n^3logn)$

考虑一个子序列什么时候才是合法的：

(1) 左端点l∈[1,pla]，右端点r∈[pla,n]。

(2) 长度为奇数。

显然，合法的子序列中必须包含b，那么上面的条件2等价于“子序列中>b的数的个数=子序列中<b的数的个数”（注意在排列中每一个数只会出现一次，故不用考虑有多个b的情况）。

我们维护一个cha数组，下标为i。

当i ∈[1,pla]时，它统计的是pl[i]-pl[pla]中>b的数的个数-<b的数的个数。

当i ∈[pla,n]时，它统计的是pl[pla]-pl[i]中>b的数的个数-<b的数的个数。

那么之前的合法条件(2)就等价于 cha[l]+cha[r]=0 。

正解：

开一个map（hs[i]），统计可能的右端点（ i ∈[pla,n] ）中cha值=i的端点个数。

枚举要选取的子序列的左端点l，统计可能的右端点集合中cha值与cha[l]互为相反数的端点个数。这儿直接累加cnt[(-1)*cha[l]]即可。

最终答案 : $\sum_{i=1}^{pla}hs[-cha[i]]]$

复杂度： $O(nlogn)$

Code:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;

const int MAXN=100020;
int n,b,pl[MAXN],pla;
long long dayu,xiaoyu,cha[MAXN],ans;
map<int,int>hs;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&b);
    for(int i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&pl[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(pl[i]==b)  { pla=i; break; }	//pla：b在排列中的位置下标 
    for(int tail=pla;tail<=n;tail++)//统计下标可能为右端点的cha数组&hs数组	
    {
        if(pl[tail]>b)	dayu++;
        if(pl[tail]<b)	xiaoyu++;	
        hs[dayu-xiaoyu]++;cha[tail]=dayu-xiaoyu;
    }
    dayu=0,xiaoyu=0;
    for(int head=pla;head>=1;head--)//统计统计下标可能为左端点cha数组 
    {
        if(pl[head]>b)	dayu++;
        if(pl[head]<b)	xiaoyu++;	
        cha[head]=dayu-xiaoyu;	
    }
    for(int head=1;head<=pla;head++)	ans+=hs[(-1)*cha[head]];//累加答案 
    cout<<ans;	
    return 0;
}