新数论分块的推广及其复杂度证明 【数论】【分块】

本文介绍了一种新的数论分块算法,用于解决特定类型的数学问题,通过优化复杂度,提供了一种比传统质因数分解更高效的方法。文章详细阐述了算法原理和实现步骤。

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事情是这样的。。。
最近校内集训有这样一道题:

给定一个N(N<1e12),问有多少个M使得 (N%M)|M.

校内绝大部分的人(其实就是除了我外)都是用质因数分解过的,大概是:

因为gcd(n,m)=gcd(n%m,m),gcd(n%m,m)==n%m (题意),所以就有gcd(n,m)=n%m.
枚举a=n%m,则要n=ax,m=ay 满足 gcd(x,y)=1.
又因为m|n-a (n-n%m),两边除以a,有y|x-1,此时显然有gcd(x,y)=1,所以上面的限制可以直接忽略。
那么再统计x-1的因数个数即可。

复杂度大约为N的所有约数的约数个数,有点绕...

这种做法太暴力且复杂度玄学,但这做法竟然跑得飞快。。。
于是我抱着一股愤怒的心情写下这篇博客,来推广一下新数论分块。

------------------------------------------------------我是萌萌哒的分割线--------------------------------------------------------

这其实是一道新数论分块(暂且叫它这个名字)的板子题。

先说结论:
类似于数论分块中,⌊ni⌋\lfloor \frac{n}{i}\rfloorin的有有效取值只有O(n)O(\sqrt n)O(n )个,(⌊ni⌋,⌈in%i⌉)(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor,\lceil\frac{i}{n\%i}\rceil)(in,n%ii)的有效取值只有O(nln⁡n)O(\sqrt n \ln n)O(n lnn)个。
(i∣ni|nin时单独划一组,显然这最多不超过O(n)O(\sqrt n)O(n )组)
(上述的取整都可以分别改成上取整和下取整,这见仁见智)

推导过程如下:
令a=⌊ni⌋,b=⌈in%i⌉令a=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor,b=\lceil\frac{i}{n\%i}\rceila=in,b=n%ii,并假定存在一个常数S.
那么对于同一个a而言:
1.若b≤Sb\leq SbS时,则(a,b)(a,b)(a,b)最多有S组。
2.若b&gt;Sb&gt; Sb>S时:
首先有⌊ni⌋=a⇔ni≥a⇔i≤na\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=a \Leftrightarrow \frac{n}{i}\geq a \Leftrightarrow i \leq \frac{n}{a}in=ain​</

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