10.8Python数学基础-不定积分

不定积分

1.定义

如果函数 F(x) 满足 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。不定积分
$$\int f(x)dx$$
表示 f(x) 的所有原函数，通常写成：

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$
其中，C是积分常数，表示原函数的不确定性。 f(x)是被积函数，dx表示对 x 的积分变量。

不定积分的结果是一个函数簇，而不是一个具体的数值。其几何含义是一组平行的曲线簇。

2.基本积分公式

1. 常数积分：
   $$\int kdx=kx+C(其中k是常数)$$

2. 幂函数积分：
   $$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(其中n\ne -1)$$

3. 指数函数积分：
   $$\int e^{x}dx=e^x+C$$

   $$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C(其中a>0且a\ne 1)$$

4. 对数函数积分：
   $$\int \frac{1}{x}dx=ln\mid x\mid +C$$

5. 三角函数积分：
   $$\int sinxdx=-cosx+C$$

   $$\int cosxdx=sinx+C$$

6. 反三角函数积分：
   $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C$$

   $$\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C$$

示例

1. 求解不定积分：
   $$\int x^{2}dx$$
   使用幂函数积分公式：
   ∫ x 2   d x = x 2 + 1 2 + 1 + C = x 3 3