37、金融中的混合资产模型与特征函数推导

金融中的混合资产模型与特征函数推导

1. 系统仿射化与模型构建

在金融建模中，我们常遇到一些非仿射的系统，需要通过特定方法将其转化为仿射形式，以便后续分析。以给定的系统为例，原始系统（13.21）是非仿射的。为了使系统仿射化，我们通过向原本的三维系统添加一个额外的方程来实现。具体做法是，扩展状态向量，引入一个潜在的随机变量 (v(t) := \sigma^2(t))，并使用 (X(t) = \log S(t))，从而得到如下的四维随机微分方程（SDE）系统：
[
\begin{cases}
dX(t) = \left( e^{r(t)} + \psi(t) - \frac{1}{2}v(t) \right) dt + \sqrt{v(t)}dW_x(t) \
de^{r(t)} = -\lambda e^{r(t)}dt + \eta dW_r(t) \
dv(t) = \left( -2v(t)\kappa + 2\kappa\bar{\sigma}\sigma(t) + \gamma^2 \right) dt + 2\gamma \sqrt{v(t)}dW_{\sigma}(t) \
d\sigma(t) = \kappa(\bar{\sigma} - \sigma(t))dt + \gamma dW_{\sigma}(t)
\end{cases}
]
这里，我们使用了 (r(t) = e^{r(t)} + \psi(t))，并且 (\theta(t)) 包含在 (\psi(t)) 中。在扩展后的状态向量 (X(t) = [X(t), e^{r(t)}, v(t), \sigma(t)]^T) 下，模型（13.22）是仿射的。