13、金融中的跳跃过程与指数Lévy过程解析

金融中的跳跃过程与指数Lévy过程解析

1. 跳跃过程基础与Wald方程

在金融领域，跳跃过程是一种重要的随机过程模型。假设存在一系列独立的随机变量 (X_i)，以及一个与所有 (X_i) 都独立的计数变量 (N_J)，此时有等式 (E\left[\sum_{i = 1}^{N_J}X_i\right] = \mu E[N_J]) 成立，这个等式被称为Wald方程。

我们可以通过离散随机变量的塔性质来推导这个等式。对于离散随机变量 (z_1) 和 (z_2)，塔性质表示为 (E[E[z_1|z_2]]=\sum_{z}E[z_1|z_2 = z]P[z_2 = z])。基于此，我们对 (E\left[\sum_{k = 1}^{N_J}X_k\right]) 进行推导：
1. 首先，根据塔性质可得 (E\left[\sum_{k = 1}^{N_J}X_k\right]=E\left[E\left[\sum_{k = 1}^{N_J}X_k\big|N_J\right]\right])。
2. 然后，将其展开为 (\sum_{n = 1}^{\infty}E\left[\sum_{k = 1}^{n}X_k\big|N_J = n\right]P[N_J = n])。
3. 由于每个 (X_k) 的期望都为 (\mu)，所以进一步得到 (\sum_{n = 1}^{\infty}P[N_J = n]\sum_{k = 1}^{n}\mu)。
4. 经过整理，最终得出 (\mu\sum_{n = 1}^{\infty}nP[N_J = n]=\mu E[N_J])，从而验证了Wald方程。

2. 解析期权价格

2.1