13、相空间中的 Lévy 飞行及幂律截断 Lévy 飞行

相空间中的 Lévy 飞行及幂律截断 Lévy 飞行

1. 相空间中的 Lévy 飞行概述

在由位置坐标 (x) 和速度坐标 (v) 所张成的相空间中，布朗运动的基本方程是关于概率密度函数 (f(x, v, t)) 的 Klein–Kramers 方程。其等价的 Langevin 描述基于关于空间坐标和速度的两个一阶微分方程，其中包含白高斯噪声源。若将高斯噪声源替换为白 Lévy 噪声源，就可得到广义的速度分数阶 Klein–Kramers 方程。

2. Langevin 描述

相空间 ((x, v)) 中的耦合 Langevin 方程为：
(\frac{dx}{dt} = v)
(\frac{dv}{dt} = -\gamma v + \frac{F}{m} + \zeta_{\alpha}(t))

其中，(\gamma) 是摩擦常数，一般可能与速度 (v) 有关；(F = -\frac{dU}{dx}) 是确定性力，(U) 是势能；(\zeta_{\alpha}(t)) 是具有 Lévy 指数 (\alpha) 的平稳白 Lévy 噪声。白 Lévy 噪声的定义与之前类似，(L(\Delta t) = \int_{t}^{t + \Delta t} \zeta_{\alpha}(t’) dt’) 是指数为 (\alpha) 的对称 LS 概率密度函数，其特征函数为 (p_{\alpha, 0}(\kappa, \Delta t) = \exp(-D_{\alpha} |\kappa|^{\alpha} \Delta t))，其中 (0 < \alpha \leq 2)，(D_{\alpha}) 是噪声强度，([D_{\alph