12、跳跃过程在金融资产定价中的应用

跳跃过程在金融资产定价中的应用

在金融市场中，观察到的隐含波动率微笑是一个常见的现象。为了处理这一现象，我们可以考虑基于跳跃过程的资产价格模型。本文将详细介绍跳跃扩散过程、伊藤引理在跳跃过程中的应用、偏积分 - 微分方程（PIDE）的推导以及费曼 - 卡茨定理在跳跃扩散过程中的应用。

1. 跳跃扩散过程

我们分析由独立跳跃扩展的布莱克 - 斯科尔斯模型，这些跳跃由泊松过程驱动，即所谓的跳跃扩散过程。在真实世界测度 $P$ 下，对数股票过程 $X(t) = \log S(t)$ 的动态方程为：
[dX(t) = \mu dt + \sigma dW^P(t) + J dX^P(t)]
其中，$\mu$ 是漂移项，$\sigma$ 是波动率，$X^P(t)$ 是泊松过程，变量 $J$ 表示跳跃幅度，$J$ 由幅度分布 $F_J$ 决定。假设过程 $W^P(t)$ 和 $X^P(t)$ 相互独立。

1.1 泊松过程

• 泊松随机变量 ：泊松随机变量 $X^P$ 用于计算给定时间段内事件发生的次数。在该时间段内观察到 $k \geq 0$ 次发生的概率为：
  [P[X^P = k] = \frac{\xi_p^k e^{-\xi_p}}{k!}]
  其均值 $E[X^P] = \xi_p$ 表示事件的平均发生次数，方差 $Var[X^P] = \xi_p$。
• 泊松过程 ：参数为 $\xi_p > 0$ 的泊松过程 ${X^P(t), t \geq t_0 = 0}$ 是一个整数值随机过程，具有以下性质：