21、椭圆曲线上标量乘法的原子模式再探

椭圆曲线上标量乘法的原子模式再探

1. 引言

在椭圆曲线密码学中，标量乘法是核心操作之一。传统上，原子实现的改进主要集中在优化倍点公式上，因为倍点操作需要为标量的每一位进行计算，而加法仅在非零位时执行。然而，在双标量乘法的情况下，这种策略并不总是最优的。因此，我们提出了一种新的原子模式，重点改进点加法，以更好地适应双标量乘法的情况。

2. 新公式

2.1 点加法和减法公式

设 (P = (X : Y : Z : Z^2 : Z^3)) 和 (Q = (X_q : Y_q : 1))，则 (P + Q = (X_3 : Y_3 : Z_3 : Z_3^2))，其中：
(\begin{cases}
X_3 = F^2 - E^3 - 2AE^2 \
Y_3 = F(AE^2 - X_3) - CE^3 \
Z_3 = ZE \
Z_3^2 = (Z_3)^2
\end{cases})
其中 (A = X)，(B = X_qZ^2)，(C = Y)，(D = Y_qZ^3)，(E = B - A)，(F = D - C)。

(P - Q) 可通过将 (F) 替换为 (\overline{F} = D + 2C - C) 得到，然后 (Y_3 = \overline{F}(X_3 - AE^2) - CE^3)。

2.2 倍点公式

点 (P = (X : Y : Z : Z^2)) 的倍点 ([2]P = (X_2 : Y_2 : Z_2 : Z_2^2 : Z_3^2))，其中：
(\begin{cases}