53、量子等价类关系查询的优势

量子等价类关系查询的优势

1. 量子（非）优势

量子计算在未来很长一段时间内都会存在，电子电路的小型化将处理器物理特性推向了相干叠加、互补性、纠缠和值不确定的领域。经典“纸笔”计算的摩尔定律在大约十到五年前已达到有效极限，这是由于合理冷却的小型化耗尽以及接近原子尺度。近期的性能提升主要依赖于并行化（如果可行的话）。

然而，即将到来的“强制”量子领域计算仍面临概念、理论和技术挑战。当代量子信息理论远未成熟，它基于量子力学，而量子力学从诞生起其语义就备受争议，不过其形式体系和推导预测的规则却非常成功。对于量子力学，不同人有不同看法，有人认为没人能理解它，有人觉得没问题，有人认为不必过多关注其意义和基础，只需专注计算。

量子信息理论继承了量子力学缺乏共识的问题，同时在应用形式体系时存在概念不清晰的认知失调。人们对量子“优越性”寄予厚望，但对于量子信息和计算究竟为何能超越经典物理资源仍存在疑问。许多非经典量子特性，如互补性、相干性（并行性）、纠缠和值不确定性，可能是关键因素，但它们如何促进未来算法的发展仍有待观察。

量子形式体系基于线性代数和泛函分析，但一些重要定理未被广泛深入理解，例如格利森定理及其扩展，以及肖尔因式分解算法。此外，关于量子计算的观点也存在混淆，比如将量子计算在幺正变换或一阶谓词演算方面的通用性与图灵通用性相混淆。量子算法众多，但对于它们为何能超越经典算法仍需深入探究。

量子优势主要体现在以下几个方面：
- 量子并行性 ：即经典互斥比特状态的相干叠加，实现同时共表示。
- 量子集体性 ：即多粒子情况下的纠缠（可能涉及非局域相关性），信息仅编码在粒子间的关系属性中，单个粒子没有确定属性。
- 量子概率 ：基于向量（正交投影算子），产生与经典值分配不同的非经典期望值和预测。
- 量子互补性 ：一般来说，量子系统禁止对某些可观测量对进行任意精度的测量。
- 量子值不确定性 ：在某些量子可观测量集合上，无法进行经典的（真/假）值分配。

下面将详细讨论量子并行性和值不确定性这两个特性。

2. 合适的情况划分

量子并行性常被视为经典计算所没有的量子资源，n 个量子比特能够同时编码 2ⁿ 个经典互斥的比特状态，即 |Ψ⟩ = ∑₂ⁿ⁻¹ᵢ₌₀ ψᵢ|i⟩，其中 i 遍历 n 个经典互斥比特状态 {0, 1} 的所有 2ⁿ 种可能组合，|i⟩ 是 2ⁿ 维希尔伯特空间中的正交基元素，ψᵢ 是概率振幅，其绝对值的平方和为 1。

量子并行性有时被神秘化，但从形式上看，它就像假装平面中的向量可以同时指向两个方向，这是对向量及其分量的一种混淆，薛定谔的猫悖论就源于这种看似荒谬的经典状态共表示。此外，为了在量子计算中保持相干性，可能需要大量的“物理资源”，这可能会抵消甚至超过量子并行性带来的优势。

状态 |Ψ⟩ 虽然不能直接通过物理操作访问或读取，但如果满足以下条件，其对经典互斥状态的同时表示可以间接发挥实际作用：
- 首先，需要对经典情况进行量子物理可实现的分组或划分，这与特定的查询相关。
- 其次，上述查询需要能够通过量子可观测量来实现。

通过这种方式，我们可以获取感兴趣的特定特征的信息，但与经典计算不同的是，其他特征仍然完全未知。虽然通过相干叠加可以高效地读取某些特征，但经典模拟计算是否能产生类似的优势仍有待观察。

以 Deutsch 算法为例，它基于单个比特 x ∈ {0, 1} 的四个可能的二进制函数 f₀, …, f₃，包括两个常数函数 f₀(x) = 1 - f₃(x) = 0 和两个非常数函数 f₁(x) = x 和 f₃(x) = (x + 1) mod 2。假设我们有一个黑盒，实现了其中一个函数，但不知道是哪一个，并且我们只关心函数是否为常数函数。那么，根据“是否为常数函数”的等价关系，函数集合 {f₀, …, f₃} 可以划分为 {{f₀, f₃}, {f₁, f₂}}。

从零知识证明的角度来看，这就像是向自然询问一个属性或命题，自然给出正确答案但不透露结果的具体细节和精细结构。

经典情况下，要确定函数是否为常数函数，需要进行两次单独的查询，分别输入两个比特状态。但如果黑盒允许量子状态，Deutsch 算法可以通过以下三个连续步骤直接在一次查询中得到答案：
1. 第一步 ：将经典比特转换为两个经典比特状态的相干叠加。可以通过哈达玛变换或量子傅里叶变换来实现。
2. 第二步 ：根据黑盒中编码的二进制函数对相干叠加进行变换。在这个过程中要保持可逆性，即使用足够的辅助比特来维持双射/置换，即使编码函数是多对一的（例如常数函数）。
3. 第三步 ：对变换后的状态进行解扰，产生一个表示查询结果的经典输出信号。由于所有涉及的变换都是幺正的且可逆的，这一步可以通过（逆）哈达玛变换或（逆）量子傅里叶变换来完成。

这种结构模式在许多量子算法中都有体现，可以概括为“准备经典状态 -> 扩展为经典状态的相干叠加 -> 根据问题或查询进行变换 -> 折叠为可通过量子查询访问并产生经典信号的经典状态分区 -> 检测经典信号”。

Shor 因式分解算法的量子核心部分也有类似结构。它通过广义哈达玛变换创建经典互斥状态 i 的叠加，然后根据外部给定的 x 和 n 计算 xⁱ mod n，最后通过逆量子傅里叶变换“折叠”扩展后的状态，以高概率得到关于周期或阶的经典信息。除了量子核心部分，其他部分都是经典计算。

状态划分可能与隐藏子群问题相关。如果一个函数从某个群映射到一个有限集，并且在隐藏子群的陪集上是常数，那么找到隐藏子群可能是解决由状态划分编码的问题的有效方法。然而，找到对应任意经典情况划分的“量子预言机”是否可行仍有待研究，例如对于广义奇偶性问题，目前没有发现加速效果。

下面用 mermaid 流程图展示 Deutsch 算法的步骤：

graph LR
    A[准备经典比特] --> B[哈达玛变换形成相干叠加]
    B --> C[根据黑盒函数变换]
    C --> D[逆哈达玛变换解扰]
    D --> E[输出经典结果]

表格总结量子优势的方面：
| 量子优势 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 量子并行性 | 经典互斥比特状态的相干叠加，同时共表示 |
| 量子集体性 | 多粒子纠缠，信息编码在关系属性中 |
| 量子概率 | 基于向量，产生非经典期望值和预测 |
| 量子互补性 | 禁止对某些可观测量对进行任意精度测量 |
| 量子值不确定性 | 某些量子可观测量集合无法进行经典值分配 |

3. 用于随机数的量子预言机

接下来探讨量子“计算”在生成（据称）不可约的不确定数或序列方面超越经典递归理论的一个例子。最近对科亨 - 斯佩克定理的扩展允许部分值分配，基于此有如下算法：假设准备一个能够产生三个或更多互斥结果的量子系统，用三维及更高维的希尔伯特空间来形式化，将其置于任意纯态。那么，在某些合理假设（关于值分配和非上下文相关性）下，该系统在与准备状态向量不共线或不垂直的希尔伯特空间其他方向上，不能具有任何确定的属性，即相关的经典真值分配不能是一个全函数。这个反证法证明是建设性的，涉及相互交织的量子上下文（即正交基）的配置。

以下图为例，展示了量子可观测量的特定配置及其忠实的正交表示，其中准备态和测量态之间的夹角为 $\arccos\langle a|b\rangle = \arccos\left(\begin{bmatrix}1, 0, 0\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}\sqrt{2}, 1, 1\end{bmatrix}^T\right) = \frac{\pi}{4}$。

当从经验、归纳的角度研究量子不确定性时，必须认识到，如果没有先验假设，关于（不可）计算性以及算法不可压缩性（即随机性）的形式证明会受到停机问题等的阻碍。我们能做的最好的事情是对随机数生成器的有限序列进行测试，如博雷尔正态性等标准测试，这些测试结果与上述值不确定性和量子不确定性是一致的。

下面是相关的量子状态关系图示意：

graph LR
    A[准备态|a⟩] --> B{量子不确定性}
    B --> C[测量态|b⟩ 无确定经典值]

4. 假设的思考

最后要提醒的是，所有的结果和证明都是基于所做的假设，不同的假设和公理可能会完全改变认知框架和结果。例如，有人可能不认可单个向量或上下文之外的状态和可观测量的物理存在，这样测量其他上下文的问题就会归结为相干叠加的一般测量问题。在这种情况下，正如冯·诺伊曼、维格纳和埃弗雷特所指出的，通过将测量对象和测量设备嵌套在越来越大的系统中，假设量子态演化的普遍有效性会导致仅仅是认知上的随机性，就像经典统计物理中的随机性和第二定律一样。从这个角度看，量子随机性可能只是“在所有实际目的上”有效，是通过与处于相干态的量子系统环境中大量（不可控）自由度的相互作用“挤出”了这种相干性，就像气球漏气一样。

总结一下本文提到的关键概念和操作步骤：
| 关键概念 | 描述 | 操作步骤 |
| ---- | ---- | ---- |
| Deutsch 算法 | 用于判断黑盒函数是否为常数函数 | 1. 用哈达玛或量子傅里叶变换将经典比特变为相干叠加；2. 根据黑盒函数变换叠加态并保持可逆性；3. 用逆哈达玛或逆量子傅里叶变换解扰得到经典结果 |
| Shor 因式分解算法 | 用于因式分解 | 1. 用广义哈达玛变换创建经典互斥状态叠加；2. 计算 $x^i \bmod n$；3. 用逆量子傅里叶变换得到周期或阶的经典信息 |
| 量子随机数生成 | 基于量子不确定性生成随机数 | 1. 准备量子系统到任意纯态；2. 依据科亨 - 斯佩克定理扩展判断值不确定性；3. 对生成序列进行博雷尔正态性等测试 |

量子计算领域充满了挑战和机遇，虽然目前我们已经看到了一些量子优势的体现，但要实现量子计算的广泛应用，还需要在理论、技术和实际操作等多个方面进行深入研究和探索。希望本文能为大家理解量子计算中的等价类关系查询优势提供一些有价值的参考。