9、隐式计算复杂度相关理论与方法

隐式计算复杂度相关理论与方法

安全递归

在计算理论中，对多项式时间可计算函数进行隐式刻画是一个重要的研究方向。这里介绍如何通过函数代数的方式来刻画多项式时间可计算函数集，此成果由Bellantoni和Cook提出，是隐式计算复杂度领域较早的研究之一。

研究对象为安全函数，即形如 $(f, n)$ 的函数对，其中 $f : B^m → B$ 且 $0 ≤ n ≤ m$。$n$ 表示 $f$ 的参数中正常参数的数量，前 $n$ 个为正常参数，其余 $m - n$ 个为安全参数。按照相关文献，使用分号分隔正常参数和安全参数，若 $(f, n)$ 是安全函数，记为 $f(W ; V)$，强调 $W$ 中的 $n$ 个单词是正常参数，$V$ 中的是安全参数。

基本安全函数如下：
- 安全函数 $(e, 0)$，其中 $e : B → B$ 始终返回空字符串 $\varepsilon$。
- 安全函数 $(a_0, 0)$，$a_0 : B → B$ 定义为 $a_0(W) = 0 · W$。
- 安全函数 $(a_1, 0)$，$a_1 : B → B$ 定义为 $a_1(W) = 1 · W$。
- 安全函数 $(t, 0)$，$t : B → B$ 定义为 $t(\varepsilon) = \varepsilon$，$t(0W) = W$，$t(1W) = W$。
- 安全函数 $(c, 0)$，$c : B^3 → B$ 定义为 $c(\varepsilon, W, V) = W$，$c(0X, W, V) = W$，$c(1X, W, V) = V$。
- 对于每个正整数 $n ∈ N$ 以及 $1 ≤ m, k ≤ n