50、RSA与RSA签名的故障对策及相关攻击技术解析

RSA与RSA签名的故障对策及相关攻击技术解析

1. 平方乘算法攻击的对策

为应对平方乘算法的攻击，可采用如下简单对策：
- 选择随机数 ：选取一个小的随机数 (r)。
- 计算中间值 ：计算 (y = m^d \bmod r) 和 (z = m^d \bmod nr)。
- 错误判断 ：若 (z \not\equiv y \bmod r)，则判定出现错误；否则，签名 (s = z \bmod n)。

根据引理，若计算无错误，有 (z \equiv y \bmod r)。未检测到故障的概率近似为两个随机数模 (r) 同余的概率，即 (1/r)。若 (r) 是 20 位的整数，该概率小于 (10^{-6})。

示例 ：设 (p = 3)，(q = 5)，(n = 15)，(d = 3)，(m = 2)，取 (r = 3)，则 (y = 2^3 \bmod 3 = 2)，(z = 2^3 \bmod 45 = 8)，满足 (z \equiv y \equiv 2 \bmod r)，签名 (s = 8 \bmod 15 = 8)。
若 (d) 的最低有效位翻转，(d’ = 2)，则 (y’ = 2^2 \bmod 3 = 1)，(z’ = 2^2 \bmod 45 = 4)，此时 (y’ \not\equiv z’ \bmod r)。
若 (d_1) 位翻转，(d’ = 1)，则 (y’ = 2^1 \bmod 3 = 2)，(z’ = 2^1 \bmod 45 = 2)，签名 (s’