23、RSA密码与签名的实现及模块化乘法方法

RSA密码与签名的实现及模块化乘法方法

1. 蒙哥马利幂梯算法计算模幂运算

蒙哥马利幂梯算法（Montgomery powering ladder）是一种用于计算模幂运算 $a^d \mod n$ 的有效方法。以下是该算法的详细信息：

1.1 算法描述

Algorithm 3.9: Montgomery powering ladder for computing modular expo-
nentiation 
Input: n, a, d// n ∈ Z, n ≥ 2; a ∈ Zn, d ∈ Zϕ(n) has bit length 𝓁d 
Output: ad mod n 
1 R0 = 1 
2 R1 = a 
3 for  j = 𝓁d − 1, j ≥ 0, j −− do 
4
if dj = 0 then 
5
R1 = R0R1 mod n// aHj = aLj+1Hj+1 for j < 𝓁d − 1 
6
R0 = R2 0 mod n// aLj = (aLj+1)2 for j < 𝓁d − 1 
7
else 
8
R0 = R0R1 mod n// aLj = aLj+1Hj+1 for j < 𝓁d − 1 
9
R1 = R2 1 mod n// aHj = (aHj+1)2 for j < 𝓁d − 1 
10 return R0 

1.2 示例

假设 $n = 23$，$d = 4 = 100_2$，$a = 5$，我们知道 $a^d \mod n = 4$。使用上述算法