13、统计学基础：重要分布与均值估计

统计学基础：重要分布与均值估计

在统计学领域，理解各种重要分布以及如何对正态分布的均值和方差进行估计是非常关键的。下面将详细介绍一些重要的分布，以及如何利用这些分布的性质来估计正态分布的均值和方差。

1. 重要分布

1.1 标准正态分布

设 $Z$ 是一个服从标准正态分布的随机变量，其概率密度函数为：
[f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)]
累积分布函数为：
[\varPhi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right) dy]
$Z$ 的期望 $E[Z] = 0$，方差 $Var(Z) = 1$，记为 $Z \sim N(0, 1)$。

对于任意的 $\alpha \in (0, 1)$，定义 $z_{\alpha}$ 满足：
[P(Z > z_{\alpha}) = 1 - \varPhi(z_{\alpha}) = \alpha]
即 $\varPhi(z_{\alpha}) = 1 - \alpha$。

以下是一些常见的 $z_{\alpha}$ 值及其对应的 $\alpha$ 值：
| $\alpha$ | $1 - \alpha$ | $z_{\alpha}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 0.1 | 0.9 | 1.282 |
| 0.05 | 0.95 | 1.645 |
| 0.01 |