11、概率理论基础：从反码到条件概率

概率理论基础：从反码到条件概率

1. 反码的定义与示例

在编码理论中，反码是一个重要的概念。对于一个二元 $(n, M, d)$ - 码 $C$，其最大距离定义为 $maxdis(C) := max { dis (c_1, c_2) | c_1, c_2 \in C }$。如果 $maxdis(C) = \delta$，则 $C$ 被称为二元 $(n, M, d, \delta)$ - 反码。

反码的概念最早在 [Far70] 中被定义，最初指的是一个二维比特数组，其中任意两行之间的最大汉明距离至多为 $\delta$（$\delta > 0$），且允许重复行。而在当前定义中，$(n, M, d, \delta)$ - 反码不包含重复的码字。需要注意的是，$\delta \geq d$，并且任何二元码都是二元反码，二元反码的概念捕捉了码的最大距离特性。

以下是一些反码的示例：
- $C = { 01, 10 }$ 是一个二元 $(2, 2, 2, 2)$ - 反码。
- $C = { 001, 011, 111 }$ 是一个二元 $(3, 3, 1, 2)$ - 反码。
- $n$ - 重复码是一个二元 $(n, 2, n, n)$ - 反码。
- 长度为 $n$ 的二元奇偶校验码，当 $n$ 为偶数时是二元 $(n, 2^{n - 1}, 2, n)$ - 反码；当 $n$ 为奇数时是二元 $(n, 2^{n - 1}, 2, n - 1)$ - 反码。

2. 概率理论概述

概率理论主要研究随机实验背后的数学理论。随机实验是指其输出无法事先确定的实验，但当多次重复该实验时，我们可以在平均输