数字电子技术基础（三）——二进制的原码、补码、反码以及几种常见的编码

目录

1  无符号数和有符号数

1.1 无符号数

1.2 有符号数

2 计算机科学中的三种表示方法

2.1 原码

2.2 反码

2.3 补码

3 加减运算的简单介绍

3.1 二进制加法

3.2 二进制减法

4 几种常见的编码

4.1 固定长度的编码

4.1.1 BCD码

4.1.2 余三码

4.1.3 2421码

4.1.4 5211码

4.1.5 余3循环码

4.1.6 格雷码

4.2 变长编码

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1  无符号数和有符号数

无符号数和有符号数是计算机编程中两种常见的数据类型。它们在存储方式、溢出方式有所不同。

1.1 无符号数

无符号数即所有位置都是用于表示数值本身。

对于一个N位的无符号数，其能够表示的范围为。例如一个8位的二进制数，其数值表示范围为0~255，其中0的二进制形式为00000000，而255是11111111。

当存储大于超过本身范围的数的时候，无符号数会发生溢出行为并且循环到最小值，例如八进制数存储256时，会循环到0；如果要存储514时，会循环到2；

1.2 有符号数

有符号数不仅有数值位还有符号位，一般有符号数的符号位是这个数的最高位，其他位是数值位。正数的符号位一般为0，负数的符号位一般为1。

对于一个N位的二进数有符号数，其能够表示的范围是。

一个8位的有符号数，其数值表示的范围是-128~127。对于正数的有符号数，范围是00000000-01111111，即0~127；对于负数的有符号数，用10000001-11111111分别对-1到-128，用10000000来表示-128。

2 计算机科学中的三种表示方法

在计算机科学种有三种常见的表示方法，分别是：原码、反码和补码。原码是一种最直观的表示方法，直接用二进制表示一个数；反码主要是用于表示负数，正数的反码和原码相同。补码是计算机种进行计算操作最常用的表示方法，对于正数来说，其补码就是原码，对于负数来说，补码是反码加1。

2.1 原码

二进制正数的原码就是它本身，负数的原码也是其本身。

在8位二进制表示中，-128原码是一个特殊情况，-128的原码是用补码来表示的，它的补码为10000000，因此8为有符号能够表示的范围是-128~127。

2.2 反码

二进制正数的反码为它本身。二进制负数的反码为其符号位不变，数值位中的0变为1，1变为0。

例如，对于±31，其中31的原码为00011111，-31的原码为10011111。将其转换为对应的反码如下所示：

图1 原码转换为反码

原码变为反码的规律可以对任何数都是使用，比如0的原码00000000，反码00000000；24的原码00011000，反码00011000；-24的原码10011000，反码11100111；-29的原码10011101，反码11100010； -128的原码00000000，反码11111111。

2.3 补码

对于正数来说，其补码就是它的原码。而对于负数，它的补码为其反码加1。

例如，对于±31的8位二进制数来说，其原码是00011111，反码为00011111，补码为00011111；-31的原码为10011111，反码为111000000，补码为11100001；转换过程如下所示：

图2 原码转换为反码和补码

 8进制二进制有一种特殊情况是-128，它的原码是10000000，补码也是10000000。

图3 -128的原码转化为反码和补码

3 加减运算的简单介绍

3.1 二进制加法

对于二进制数，可以对其进行加减运算。在进行加减运算的时候，我们一般将其转换为补码进行运算。

例如两个6位二进制数010010和001010进行加法运算（最高位为符号位，对应的十进制数为18和10），相应的补码也是010010和001010，相加过程如下所示：

图4 两个二进制正数相加

可以看到通过计算得到011100，对应的原码为011100，十进制结果为28，和直接十进制相加所得的结果相同。

同时可以进行正数与负数进行相加，例如有符号的二进制数010111和101111（对应十进制的23和-15）相加，将负数转换为对应的补码为110001。计算过程如下所示：

图5 二进制正数和负数相加

可以看到最终结果为001000即十进制数8，通过比较十进制数结果可知计算正确。

当两个有符号数之和大于超过表示的范围的时候，会出现溢出现象（Over